《数学建模实例》示范公开课教案【高中数学北师大】.docxVIP

第四章 数学建模活动 1.4.1 数学建模实例 教学目标 教学目标 1. 借助小组合作学习，在参与和实践中发现和提出问题、分析和解决问题． 2．进一步体会数学建模的全过程，特别是体会因素分析和假设对于建模的重要性，在过程中提升将实际问题数学化的能力． 3. 在对实际问题的再分析、对假设的再改进、对已得模型的再思考中进一步认识和体验数学建模． 教学重难点 教学重难点 重点：对问题相关因素的分析及适当的假设． 难点：将“漂洗多少次能使衣服干净”这一生活中的问题转化成不等式的问题． 教学过程 教学过程 一、新课导入 情境导入：日常洗衣服都要经历两个阶段，第一阶段是用去污剂搓洗衣服，第二阶段是漂洗衣服．一般来讲要漂洗多次，漂洗的次数越多，衣服越干净． 问题：在前面的必修课程中，我们已经学习并实践了数学建模活动，这里我们再研究一个实际问题——漂洗衣服的问题．在给定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗多少次能使衣服干净？请大家特别注意的是，在用数学解决这个问题的过程中，我们需要做哪些工作？ 学生思考，师组织学生回顾数学建模的主要步骤，理解所提出的实际问题． 引出本节课题：《数学建模实例》． 设计意图：引入情境，提出问题，复习数学建模的知识，明确本节要研究的问题漂洗衣服的问题． 二、新知探究 探究一：影响因素的分析及假设． 思考：影响衣服漂洗洁净度，涉及哪些因素？这些因素中哪些是主要因素？哪些因素可能会使建模的困难增大，从而可先暂时忽略？ 分析：影响漂洗衣服干净程度的因素有：漂洗前衣服上残留的污物量，用于漂洗衣服的清水量，漂洗的次数，每次漂洗用的清水量，每次漂洗后，衣服上残留的污物量．如下列出因素： 1．漂洗前衣服上残留的污物量； 2．用于漂洗衣服的清水量； 3．漂洗的次数； 4．每次漂洗用的清水量； 5．每次漂洗后，衣服上残留的污物量； 6．用什么洗涤剂（忽略）； 7．洗衣的程序（忽略）； 8．水温（忽略）； 为了便于表达和分析，我们把出现的重要的量用数学符号来表达，从而逐步形成一些解决问题所需要的“假设”： 假设： 1．漂洗所用的清水总量是定值，记为A kg 2．共漂洗了n(n∈N)次，每次漂洗所用的清水量相等，记为 3．初次漂洗之前衣服上的污物量记为m0 kg，第i(1≤ 4．每次漂洗拧干后，衣服上留有的清水量相等，记为b kg； 5．每次漂洗，衣服上残留的污物可均匀地溶解在水中； 6．为了使衣服上的污物能均匀地溶解在水里，每次漂洗时存在用水最小量，记为c kg； 7．衣服上的残留污物量小于? kg 探究二：建立漂洗后残留污物模型． 分析： 第1次漂洗前，衣服上有污物m0 kg，衣服上留有的清水量是 第1次漂洗时加入清水a kg，此时，m0 kg污物均匀地溶解在 问：漂洗拧干后与漂洗前比较，衣服上残留的污物有什么关系？ 漂洗拧干后，衣服上残留的污物量为m1 满足m1b= m2 同理，mn 由假设可知，a≥c，即n≤ 于是，问题转化为只需要求同时满足m01+Anbn?和n≤Ac的n值即可 事实上，为了保证有解，应当满足条件m01+cbAc 想一想：如何检验计算结果，与实际值是否一致呢？ 答案：将通过实验得出的实际值与通过计算得出的计算值相比较．若结果相近，可以认为该模型基本准确． 以上过程是一个完整的数学建模活动过程．在这之后，我们还可以做进一步的工作， 比如： 1．改进已有模型，可通过改进假设，建立新的模型，使新的模型更接近实际． 2．讨论模型的特征，扩大模型的适用范围，以解决更多的问题． 3．深入分析实际情境，提出新的问题，进行新问题解决的数学建模活动． 小结：数学建模的基本步骤：影响因素的分析和假设、建立模型、检验结果与改进．通过漂洗衣服问题的实例，对数学建模进行分析和建构． 设计意图：让学生在具体建模之前，关注影响的因素和变量,抓住有价值的讨论点．教学中，给学生留出一些时间提出假设，通过让学生自己找、自己设定,不求全，只求做．经过思考，自然得出数学模残留污物量的递推关系式，建立关于残留污物量的模型之后，这只是问题局部的表示，还要完整地表达问题，即得到不等式．最后通过检验，思考问题的解决． 三、应用举例 问题延伸1：在上面的数学建模活动中，做了模型的假设：每次漂洗所用的清水量相等．请思考如果每次漂洗所用的清水量不相等，结果又怎样呢？ 分析：为了简单起见，只讨论漂洗2次的情况． 解析：设2次所用的清水量分别为a1 kg，a2 kg，且a1+a 在漂洗所用的清水量不相等（a1≠a 我们希望m2尽可能地小，即1+a1 1+a1b 即1+a1b1+a2b 因为这里的142+Ab2 1+a1b1+a2 结论：一般地，在用水总量和漂洗次数都相同的情况下，等量用水漂洗比不等量用水漂洗下的最后残留污物量要少． 问题延伸2：“漂洗次数越多，衣服越