《直线与圆锥曲线的综合问题》示范公开课教案【高中数学北师大】.docxVIP

《直线与圆锥曲线的综合问题》教案 教学目标 教学目标 1.进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系． 2.掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题． 教学重难点 教学重难点 　重点：掌握弦长公式． 难点：会求解与弦长有关系的问题． 教学过程 教学过程 一、新课导入 我们已经学习了直线与圆锥曲线的位置关系，回忆学习过的内容，结合图象，说明直线与圆锥曲线的位置关系及交点个数． 二、新知探究 问题１：如果直线l：y=kx+m与椭圆C：x2a2+y 答案：直线l：y=kx+m与椭圆C：x2a2+ 联立直线与椭圆的方程组：x2a b2 方法一：求得x1，x2，利用中点坐标公式，得x 方法二：利用根与系数的关系可得x1+x2=-2 直线与双曲线、抛物线相交于两点，交点的中点坐标也用同样的方法可以得到． 问题二：如果直线l与圆锥曲线C相交于不同的两点Ax1，y1，B 答案：如果直线l的斜率存在，设其斜率为k，则直线l的方程为y=kx+m，将其代入圆锥曲线方程，得出关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系，可得x1+x2，x1x2，由两点间的距离公式，得|AB|=(x1 =1+k2· 如果直线l的斜率不存在，则设直线方程为x=m，直接代入圆锥曲线方程求得交点坐标，再利用两点间距离公式求得|AB|． 追问：如果直线l的斜率k≠0，如何用y1 答案：通过计算可得|AB|=1+1k2 三 应用举例 例1 已知斜率为-2的直线经过椭圆C：x25+y24= (1)线段AB的中点M的坐标； (2)|AB|的值． 解：由题意知椭圆C的左焦点F1的坐标为-1，0，直线AB 解方程组y=-2x+1， 因此A (1) 设线段AB的中点M的坐标为（x，y），则 x=0+-5 所以线段AB的中点M的坐标为-5 (2) |AB|=(0- 举一反三: 已知椭圆C：x25+y24 法一：因为-5625+-13 根据椭圆的对称性可知，所求直线的斜率存在，设其斜率为k，则直线方程为y+ 即y=kx+56k-13，代入椭圆方程，得(4+5k2)x2+10k( 设直线与椭圆交于A，B两点，Ax1，y1，Bx2，y2，根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+ 法二: 因为-5625+-13 设直线与椭圆交于A，B两点，Ax1，y1，Bx2，y2，则x 两式相减，得4x1 根据对称性， x1≠x2，所以- 总结：本例第一种方法称为“根与系数的关系法”，即利用根与系数的关系，得出中点的横坐标(或纵坐标)；第二种方法称为“点差法”，即把弦的端点坐标代入圆锥曲线方程，然后作差，根据圆锥曲线方程的特点，通过分解因式，作的差式中含有x1 y1-y2，x1+x2，y1+y2，在弦的斜率k存在时，k=y y1+y2=2y 例2　 已知直线l过椭圆C：x24+y22=1的中心，且交椭圆C 解：(1)当直线l的斜率不存在时，直线l:x=0，代入椭圆方程解得A0,2， B0,- (2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx． 将椭圆方程化简、整理，得x2 将直线和椭圆方程联立，得x 将②代入①，得x2 化简、整理，得2k2+1 显然，无论k取何值，方程③都有实数解，xA 由两点间的距离公式，可得AB =1+k2 为了便于求AB的取值范围，将④进行变形整理得AB=4 因为4k2+2≥2， 所以22 综合(1)和(2)的结果，|AB|的取值范围为[22，4] 探究: 某同学给出了例2的如下解决方法： 解：考虑到直线l与圆C的两个交点A，B是关于中心O对称的，所以|AB|=2|OA|=2xA2 因为点A在椭圆C上，所以xA2+2 将其代入上式，消去xA可得|AB|=2 由上述函数关系可以求出0 请对该同学的上述解法进行评价． 答案:因为点A在椭圆C上，所以yA∈-2，2， 总结：在求解解析几何问题的过程中，一方面利用数形结合的思维方式，另一方面还应该在分析图形的基础上对题目中的几何要素进行表达，这直接关系到后续代数处理的繁简程度，最后,要对注意变量的取值范围． 四、课堂练习 1．椭圆C：x236+y2 A.x+2y+8=0 B.x+2y-8=0 C.2x+y-8=0 D.2x-y-8=0 2．已知椭圆C：x24+y2=1和直线l：y=2x+ (1)当椭圆C与直线l有公共点时，求实数m的取值范围； (2)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求|AB|的最大值． 参考答案： 1．解析：方法一：因为4236+229=89 根据椭圆的对称性可知，所求的直线的斜率存在，设其斜率为k，则直线方程为y-2= k(x-4)，即y=kx-(4k-2)，代入椭圆方程，得(1+4k2)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0． 设直线与椭圆交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据一元