《直线的方向向量与平面的法向量(2)》示范公开课教案【高中数学北师大】.docxVIP

《直线的方向向量与平面的法向量(2)》教案 教学目标 教学目标 1.能用向量语言描述平面，理解平面的法向量的概念； 2.会用待定系数法求平面的法向量； 3.在学习实践中认识向量方法是解决立体几何问题的基本方法，形成看待立体几何问题的多元、多维观点． 教学重难点 教学重难点 重点：平面的法向量的求解． 难点：平面的法向量的求解． 教学过程 教学过程 一、情境导入 情境：观察教室中黑板、课桌桌面、窗户等所在的平面，可以发现，课桌桌面所在的平面是水平的，与地面平行；黑板、窗户所在的平面都是竖直的，垂直于底面． 那么，平面有“方向”吗？如果平面有方向，那么如何来刻画平面的“方向”呢？ 设计意图：结合生活实际，让学生观察平面的不同位置，直观感知平面的方向，然后通过问题，引发学生思考． 二、新知探究 问题1：我们已经知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线．类似地，空间中，给定一个点和一条直线后，能否确定一个平面? 答案：给定空间中一点A和一条直线l，由立体几何知识可知，过点A且垂直于直线l的平面唯一确定． 追问1：如何用向量表示这个平面？ 答案：如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量，则n⊥α 追问2：平面的法向量是唯一的吗？ 答案：如图，直线l的方向向量有无数个(如n，a，b等)，因此，平面α的法向量也有无数个． 因此，平面的法向量不唯一． 问题2：如何用平面的法向量描述平面内任意一点的位置呢? 答案：如图，设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面α的一个法向量，那么对于平面α内任意一点P，必有： MP·n=0 反过来，由立体几何的知识可以证明：满足①式的点P都在平面α内，所以把①式称为平面α的一个向量表示式． 追问：若已知向量n=A，B，C 答案：设平面α内任意一点P的坐标为x，y， 代入①式，得 MP· 即，Ax-x0 由此可见，平面α内任意一点P的坐标x，y，z都满足方程②；反之，以满足方程②的x，y，z为坐标的任意一点也都在 问题3：我们知道，空间中的平面α可以由α内两条相交直线确定，能否用两条不共线的向量表示空间中的平面？ 答案：设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对x，y，使得OP=xa+yb，这样，点O与向量 追问1：空间一点P在平面ABC内的充要条件是什么？ 答案：不共线的三点A、B、C构成两个不共线的向量AB、AC，平面内任意一点P，存在实数x，y，使得AP=xAB+yAC 因此空间一点P在平面ABC内的充要条件是：存在实数x，y使OP 此结论可以证明空间四点共面． 追问2：如何说明空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定？ 答案：xAB+yAC表示平面内的任意向量，OA+xAB 三、应用举例 例1 已知点A0，1，1，B1，2 解：由已知可得：AB=1，1， 设n=x，y， 则n·AB=0 不妨取x=1，得 ∴平面ABC的一个法向量的坐标为1， 总结：利用待定系数法求平面的法向量的步骤： ① 求平面ABC的法向量时，要选取平面ABC内两个不共线的向量，如AB，AC； ② 设平面的一个法向量为n= ③ 联立方程组n· ④ 所求出向量中的三个坐标不是具体的值，而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量． 例2：在长方体ABCD-ABCD中，已知AB=1，AD=2，AA=3． （1）在四边形BCCB内，是否存在一点N，使得AN⊥平面ABD？ （2）求证：AC与平面ABD的交点恰为线段AC的三等分点． 解：（1）以点A为原点，AB，AD，AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系，则B1，0，0 故BD=-1 设N1，y，z是四边形BCCB内一点，则0 则AN·BD=0AN· 故在四边形BCCB内存在一点N1，12，1 （2）由（1）知AN=1，1 又B1，0， 1， 化简，得6， 即6x+3y 设点E为线段AC的一个三等分点，且满足AE= 由AC=1，2，3，可知 代入方程（*）检验可知，点E的坐标满足平面ABD的方程（*）． 所以AC的三等分点E在平面ABD内，即AC与平面ABD的交点恰好就是线段AC的三等分点． 四、课堂练习 1. (多选)在直三棱柱ABC-A1 A. AB B. AA1 C. B 2.在正方体ABCD-A1B1 参考答案： 1. 根据直三棱柱的特点，侧棱与底面垂直，可以直接得出AA1，BB1，CC1都可以作为平面ABC的法向量，同样地，A1A，B1 2.分析：可用向量数量积的定义证明DB1与平面ACD1中两个不共线向量分别垂直；也可用待定系数法求出平面 解：不妨设正方体的棱长为1，以DA，DC