《双曲线及其标准方程》示范公开课教案【高中数学北师大】.docxVIP

PAGE PAGE 5 《双曲线及其标准方程》教案 教学目标 教学目标 1．通过观察动点运动的过程，抽象、概括动点满足的几何条件，理解双曲线的概念，发展学生的数学抽象素养． 2．能够类比椭圆的研究方法推导出双曲线的标准方程，发展学生的逻辑推理、数学运算等素养． 教学重难点 教学重难点 教学重点： 双曲线的定义及双曲线的标准方程． 教学难点： 双曲线标准方程的推导． 教学过程 教学过程 一、新课导入 回顾初中时学习过的反比例函数的图象，观察电厂的冷却塔图片，它的轴截面的外轮廓就是双曲线的一部分．双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题． 我们已经学习过椭圆．椭圆是平面上到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹．当然这个定长要大于这两个定点之间的距离．那么平面上到两个定点距离的差等于定长的点的轨迹是什么呢? 设计意图：通过学生熟悉的知识以及生活中的实例让学生感知双曲线的形状，这样的两个例子简单、生动，学生易于接受． 二、新知探究 如图，取一条拉链，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，当拉链闭拢时F1与F重合 问题1：在以上拉链小实验中，曲线上的点应满足怎样的几何条件？ 答案：如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF 追问1：在刚刚的实验中，有哪些点是定点，哪些点是动点，还有哪些定长？ 答案：F1和F2是定点，M为动点，F1F2和F2F是定长． 追问2：当点M满足|MF1||MF2|时，动点 答案：MF 追问3：那么当点M满足|MF1||MF2|时，动点 答案：MF 问题２：现在试着类比椭圆的定义看能不能给双曲线下一个定义？ 答案：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数的点的集合． 追问：和椭圆一样，我们把这个常数r用2a来表示，仍然称F1、F2为焦点，F1F2为焦距，一般也用2c来表示．我们知道在椭圆中2a 答案：教师引导，学生合作，得到结论： ①若2a=0时，轨迹为F1F2的中垂线； ②若2a=2c时，轨迹为两条射线； ③若2a2c时，无轨迹； ④若02a2c时，轨迹为双曲线； 给出双曲线完整定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于|F1F2|）的点的集合． 引导学生找出定义中的关键词，强调没有绝对值的时候表示的是双曲线的某一支． 设计意图：充分调动学生的积极性，突出学生的主体地位，并且通过总结特征提高学生的语言表达能力，对图形的认知能力． 学生概述定义时往往会漏掉常数的范围，保留常数的范围这一问题，由学生自己发现，方能印象更加深刻． 问题３：类比椭圆的标准方程的建立过程，请同学们思考如何建立双曲线的方程？ 答案：学生刚刚学习过椭圆，对椭圆的标准方程的推导过程印象比较深刻，用同样的步骤推导双曲线的标准方程： ①建系：以直线F1F2为x轴，线段F1 ②设点：设双曲线上任意一点M坐标为(x，y)，焦距为2c，则F1(-c，0)，F ③写出限制条件： | ④列出等式：(x+a) ⑤化简：这一步由学生自己动手完成，并且找一个学生板演，最终化简为 x 追问1：类比椭圆，怎样使双曲线方程的形式更加简洁？ 答案：像椭圆一样，为了使双曲线方程的形式更加简洁，结合ca0，可设c2-a2=b2，其中b0 双曲线与椭圆标准方程中a、b、c的关系不同，要给学生强调，这也是今后在做题过程中学生易混淆的地方． 追问2：椭圆的标准方程有两种，双曲线的标准方程是不是也有两种？ 答案：椭圆的标准方程有两种，双曲线的方程在推导时也可以换一种建系方式，得到另一种形式的方程：y2a2 　 设计意图：培养学生的运算能力．通过双曲线与椭圆的对比，学生可以加深对两种曲线的理解． 【概念辨析】 思考辨析，判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(×) 解析：必须是距离的差的绝对值才表示双曲线． (2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×) 解析：平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹为双曲线的一支． (3)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×) 解析：因为||PF1|－|PF2||＝8＝|F1F2|，故对应的轨迹为两条射线． (4)若焦点在x轴上的双曲线方程为 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1，则a2＞b2．(×) 解析：焦点位置取决于双曲线标准方程左边项系数的符号． 三、应用举例 例1 已知双曲线的两个焦点分别是F1 (－5， 0)和F2 (5， 0)，该双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是6，求该双曲线的标准