《直线与圆锥曲线的交点(2)》示范公开课教案【高中数学北师大】.docxVIP

《直线与圆锥曲线的交点(2)》教案 教学目标 教学目标 1.会判断直线与抛物线、双曲线的位置关系． 2.利用直线与抛物线、双曲线的位置关系解决问题． 教学重难点 教学重难点 　重点：判断直线与抛物线、双曲线的位置关系． 难点：利用直线与抛物线、双曲线的位置关系解决问题． 教学过程 教学过程 一、新课导入 我们研究过了直线与椭圆的位置关系以及直线与椭圆交点坐标的求法，类比这种方法，我们能研究直线与抛物线、双曲线的位置关系吗？ 二、新知探究 问题１：类比直线与椭圆的位置关系可知直线与抛物线、双曲线有几种位置关系？ 答案：有三种位置关系，分别为相交、相切、相离． 追问：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？ 答案：不一定，当直线与抛物线的对称轴平行或者重合时，直线与抛物线只有一个公共点，但两者相交．因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． 问题２：如何判定直线与抛物线的位置关系？ 　答案：设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2pxp0 (1)若k≠0，当Δ 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k=0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 注意：研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况． 问题３：如何判定直线与双曲线的位置关系？ 　答案：把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2+bx+c=0的形式，在 (1) Δ0时，直线与双曲线有两个不同的公共点； Δ=0时，直线与双曲线只有一个公共点； Δ0时，直线与双曲线没有公共点． (2)当a=0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． 注意点：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． 三 应用举例 例1 已知直线l经过点A(0，1)，且与抛物线 C：y2=x有唯一的公共点，求直线 解：如图 (1)当直线l的斜率不存在时，直线l：x=0(y轴)与抛物线C相切于原点，符合条件． (2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1． 由方程组y2=xy=kx+1 k ①当k2=0时，直线l的方程为y ②当k2≠0时，方程(*)有唯一的实数解的充要条件是Δ 解得k=14． 综上，满足题意的直线l有三条：x=0，y=1，y=1 总结：判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点． 例2　讨论直线l：y=kx+1与双曲线C： 解：联立方程组y=kx+1， 消去y，整理得 1- （1）当k=1时，x=-1． （2）当k=-1时，x=1． （3）当k≠±1时，Δ=4k 若Δ0，则-2k2；若Δ=0，则k=±2；若Δ0，则k-2 综上，当k-2或k2时，直线l与双曲线C没有公共点；当k=±2时，直线l与双曲线C相切于一点；当k=±1时，直线l与双曲线C相交于一点；当-2k-1或-1k1或 总结：直线与双曲线的位置关系的判断方法： 1．代数法 将直线方程与双曲线方程联立，方程组的解的组数就是直线与双曲线交点的个数．联立得方程组，消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项的系数是否为零，否则容易漏解． 2．数形结合法 判断直线与双曲线的交点情况时，可以根据双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系，确定直线与双曲线的位置关系． 四、课堂练习 1．[多选题]过定点P(－1，1)且与抛物线y2＝2x只有一个交点的直线l的方程为(　　) A．y＝－1 B．y＝1 C．(3－1)x－2y＋3＋1＝0 D．(1＋3)x＋2y＋3－1＝0 2．若直线l：y＝ax＋1与双曲线：3x2－y2＝1的左、右两支各有一个公共点，则实数a的取值范围是________． 参考答案： 1．解析：(1)当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意． (2)当直线l的斜率存在时， ①若直线l与抛物线的对称轴平行，则直线l的方程为y＝1，此时直线l与抛物线只有一个公共点． ②若直线l与抛物线的对称轴不平行，设直线l的方程为y－1＝k(x＋1)(k≠0) ． 即y＝k(x＋1)＋1(k≠0) ． 由y=kx+1+1y2=2x消去 由题意知Δ＝4－4k(2k＋2)＝0，解得k＝-1±3 故所求直线l的方程为： (3－1)x－2y＋3＋1＝0或(1＋3)x＋2y＋3－1＝0． 综上所述，所求直线l的方程为y＝1或(3－1)x－2y＋3＋1＝0或(1＋3)x＋2y＋3－1＝0． 故选BCD． 2． 解析：由y=ax+13x2-y2 则Δ＝4a2＋8(3－a2)0， 解得－6a6． 又∵A，B在两支上， ∴x1x2＝－23-a20