《直线的倾斜角与斜率、方向向量的关系》示范公开课教案【高中数学北师大】.docxVIP

《直线的倾斜角与斜率、方向向量的关系》教案 教学目标 教学目标 1．理解直线的倾斜角与斜率的关系． 2．了解直线的方向向量． 3．理解直线的斜率与方向向量的关系． 4．会应用倾斜角与斜率的关系、斜率与方向向量的关系解决一些简单的综合问题． 教学重难点 教学重难点 重点：直线的倾斜角与斜率的关系；直线的斜率与方向向量的关系． 难点：直线的倾斜角与斜率的关系；直线的斜率与方向向量的关系． 教学过程 教学过程 一、新课导入 温故知新：上节课，我们学习了直线的倾斜角与斜率．请回顾它们的概念． 直线的倾斜角 在平面直角坐标系中，对于一条与??轴相交的直线??，把??轴(正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线??首次重合时所成的角，称为直线??的倾斜角．常用??表示． 斜率 称k=y2-y1 思考：直线的倾斜角与它的斜率之间有什么联系？ 二、新知探究 直线的斜率与倾斜角的关系 问题1：直线的倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，那么它们之间有什么关系呢？ 分析：（1）如下左图，若α为锐角，α=∠P2P1Q （2）如上右图，若α为钝角，α=π-θ，且x1 （3）如下左图，特殊地，若直线l平行于x轴，α=0，所以tanα=0．又x1 （4）如下右图，若直线l垂直于x轴，α=π2，所以tanα无意义． 又 直线的斜率与倾斜角的关系 倾斜角不为π2的直线，它的斜率k和它的倾斜角α k=tanα 问题2：当结合正切函数的图象与性质，探究直线斜率k随倾斜角α怎样变化？ 分析：如下图所示， 当α∈[0，π2)时，斜率k?0 当α∈(π2，π)时，斜率k0 当α=π2时，直线l与x轴垂直，此时直线 问题3：对于倾斜角不为π2 ??是关于 ??的正切函数在[0，π2)单调递增；在 直线的斜率与方向向量的关系 问题4：直线的倾斜角，直线的斜率，都是确定直线位置的几何要素．那是否还有别的方法来刻画直线的方向呢？ 分析：在直线l上任取两个不同的点P P1P2 P1 k=y2 P1 ν= 直线的倾斜角α、斜率k、方向向量P1P2 若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中 三、应用举例 例1 已知直线l的倾斜角为α，斜率为k． （1）若0?α?π3 （2）若π4?α?3 （3）若-3?k （4）若-1?k?3 解： （1）由0?α?π3及正切函数的性质，可得tan0?tanα?tanπ3，即 （2）由正切函数的性质，可得 当π4?απ2时，k=tanα?1；当π2α?3π4时，k （3）由-3?k?-33可得，- （4）由-1?k?3，可得-1?tanα?3 例2 已知直线l1的倾斜角为α=30°，且l2⊥l1 解：依题意画图，由于直线l1的倾斜角为α=30°，且l 则直线l2的倾斜角β 所以直线l1的斜率k 直线l2的斜率k 例3 已知直线l的斜率为2，求它的一个方向向量的坐标． 解：设P1x1，y 则直线l的一个方向向量ν= 由经过两点的直线斜率的计算公式，可得2=y 即ν= 因此，(1，2) 例4 根据下列条件，求直线l的倾斜角． （1）斜率为-3 （2）经过A- （3）一个方向向量为P1 解：设直线l的倾斜角为α． （1）因为直线l的斜率为-3，所以tanα=-3，又因为 （2）由经过两点的直线斜率的计算公式，可得直线l的斜率k= 又因为0?απ，所以α （3）由直线l的一个方向向量为P1P2= 又因为0?απ，所以α 四、课堂练习 1．若过两点M3，y，N(0， 2．过两点A1，y，B( 3．已知直线l的倾斜角为α，且0° 4．若直线AB与y轴的夹角为60° ，求直线AB 参考答案： 1． 0 解析：由斜率公式知3-y0-3 2．- 解析：由题意得ν=2，-3 3．- 解析：设直线l的斜率为k，当0°?α90°时，k=tanα?0，当α=90°无斜率，当 4．33或 解析：由题意，得知直线AB的倾斜角为30°或150°，所以直线AB的斜率为33 五、课堂小结 1．直线的斜率与倾斜角的关系： 当α∈[0，π2 当α∈(π2， 当α=π2时，直线l与x轴垂直，此时直线 2． 直线的斜率与方向向量的关系： 直线斜率为k?ν= 六、布置作业 教材第8页练习1、2、3、4题．