《双曲线的简单几何性质(1)》示范公开课教案【高中数学北师大】.docxVIP

PAGE PAGE 5 《双曲线的简单几何性质（1）》教案 教学目标 教学目标 1．了解双曲线的几何图形及简单几何性质； 2．通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用． 教学重难点 教学重难点 教学重点： 双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质． 教学难点： 利用双曲线的简单几何性质解决简单实际问题． 教学过程 教学过程 一、新课导入 想一想：我们已经学习了双曲线的概念与双曲线的标准方程，类比对椭圆的研究，接下来我们应该研究哪些内容？ 答案：类比对椭圆的研究，接下来要研究双曲线的几何性质，通过观察双曲线的图象，研究双曲线的范围、对称性、顶点等．研究的基本思路与方法是先“形”后“数”，即在观察图形形状与特征的基础上先提出猜想，再通过双曲线的标准方程进行计算和推理． 设计意图：让学生在明确的研究问题、研究方法的指引下学习与探究，提高思维的主动性、深刻性，避免思维的被动性和盲目性． 二、新知探究 问题1：观察平面直角坐标系中的双曲线，它有怎样的范围？ 答案：观察双曲线的图象，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是x≤-a，或x≥a，纵坐标的范围是y∈R 追问：上述观察的方法非常直观，这样观察得到的结论准确吗？你能利用它的方程给出证明吗？有没有可能双曲线的一部分图形在直线x=-a和直线x=a之间？ 答案：没有．从代数的角度，通过方程来研究，双曲线的方程变形为x2a2=y2b 设计意图：明确曲线的范围即方程中两个变量x，y的取值范围，然后在观察、猜想的基础上通过方程给出证明．明确研究曲线范围实质上是研究什么，以及怎么样通过方程研究． 问题2：观察双曲线的形状，它有怎样的对称性？你能利用双曲线的方程证明它的对称性吗？ 答案：类比研究椭圆的对称性的方法，在标准方程中，把x换成-x，或把y换成-y，或把x，y同时换成-x，-y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴和原点都是对称的．这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心． 设计意图：明确曲线的对称性的实质，以及怎么样通过方程判断曲线是否关于坐标轴或原点对称． 问题3：观察双曲线，你觉得有哪些比较特殊的点？你能通过方程给出证明吗？ 答案：比较特殊的点，即双曲线与坐标轴的交点．在问题解决后，给出双曲线的顶点、实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长等概念． 在标准方程x2a2-y2b2=1中，令y=0得 如图，对称轴上位于两顶点间的线段A1A2叫做双曲线x2a2-y2b2=1的实轴，其长度为2a．尽管此双曲线与 设计意图：明确曲线顶点的含义以及通过方程研究曲线顶点的思路与方法． 【概念辨析】 思考辨析，判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是2．(　　) (2)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则其焦距为6．(　　) (3)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1与eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a0，b0)的形状相同．( ) 参考答案：(1)×　(2)×　(3)√ 三、应用举例 例1 求双曲线x2-4y2=1的焦点、中心、顶点坐标、实轴和虚轴的长，并画出该双曲线． 解:将x2-4y2=1化为标准方程为x2- 由此可得实半轴长a=１，虚半轴长b=12，半焦距c= 所以双曲线的焦点坐标为(-52，0)，(52，0)，中心坐标为(0，0)，顶点坐标为 实轴长为2，虚轴长为1， 根据双曲线的对称性，先画双曲线位于第一象限的部分，为此，由双曲线的方程解得y=1 计算出一些点，如表： x 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 y 0 0.56 0.87 1.15 1.41 1.94 2.45 2.96 3.46 3.97 在平面直角坐标系中描出上述对应点，并用光滑曲线连起来.根据对称性，再画出双曲线在其他三个象限的部分（如图）． 方法总结：由双曲线的方程研究其几何性质的注意点：(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；(3)由c2=a2+b 例2 如图，火力发电厂的冷却塔的外形是由双曲线绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，已知塔的总高度为150m，塔顶直径为70m，塔的最小直径(喉部直径)为67m，喉部标高(标高是地面或建筑物上的一点和作为基准的水平面之间的垂直距离)为112.5m，试建立适当的坐标系，求出此双曲线的标准方程(精确到0.01)，并画出该双曲线． 解: 图（2）是冷却塔的轴截面，为了得到双曲线的标准方程，以最小直径处所在直线为x轴，最小直径的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），则点A的坐标为（33.5，0）. 设双曲线的标准方程为x2 则a=33.5