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《直线与圆的位置关系(1)》教案
教学目标
教学目标
1. 理解直线与圆的位置关系。
2. 会判断直线与圆的位置关系。
3. 探索直线与圆的位置关系的过程。
4. 会利用直线与圆的方程解决实际问题。
4. 体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性及数学结论的确定性。
教学重难点
教学重难点
重点:直线与圆的位置关系及其判断。
难点:直线与圆的位置关系的判断。
教学过程
教学过程
一、新课导入
回顾:前面我们学习了点与圆的位置关系,请同学们回忆一下点与圆有几种位置关系?我们是怎样判断点与圆的位置关系的?
生回答,师小结
答案:点与圆有三种位置关系:点在圆外,点在圆上,点在圆内。我们是通过点与圆心的距离d和圆的半径r的大小关系来判断点与圆的位置关系的,点在圆外,即dr;点在圆上,即d=r;点在圆内,即dr。
思考:直线与圆有几种位置关系呢?怎样来判断直线与圆的位置关系呢?本节课我们就来探讨这些问题。
生思考,师引出本节课题:《直线与圆的位置关系(1)》。
设计意图:通过有针对性的复习点与圆的位置关系,为本节课研究直线与圆的位置关系做准备。
二、新知探究
探究一:直线与圆的位置关系?交点个数情况?如何定义这几种情况呢?
分析:在平面几何中,已经学习了直线与圆的三种位置关系:直线与圆相交,直线与圆相切,直线与圆相离(如上图)。直线和圆有两个公共点,叫做直线和圆相交,这时这条直线叫做圆的割线;直线和圆只有一个公共点,叫做直线和圆相切,这个唯一的公共点叫做切点;直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。
思考:如何判断直线和圆的位置关系呢?
探究二:直线Ax+By+C=0与圆x-a
分析:1. 几何法:圆心到直线的距离与半径的大小关系。
设圆心到直线的距离为d,则圆心C(a,b)到直线l的距离d=|Aa+Bb+C|A
0)。当dr时,直线l与圆C相交,当d=r时,直线l与圆C相切;当dr时,直线l与圆C相离。
2. 代数法:方程组解的情况。
由方程组Ax+By+C=0x
(1)?0,有两组实数解,直线l与圆C相交;
(2)?=0,有一组实数解,直线l与圆C相切;
(3)?0,无实数解,直线l与圆C相离。
小结:直线与圆的位置关系及判定:
位置关系
公共点个数
几何法判定
代数法判定
相交
2
dr
?0
相切
1
d=r
?=0
相离
0
dr
?0
设计意图: 通过探究活动,让学生体验探索直线与圆的位置关系的过程,加深对直线和圆的三种位置关系判定的理解。
三、应用举例
例1:已知直线l:2x十y—3=0,圆M:x-a
(1)指出圆心M的位置特征;
(2)求实数a分别取何值时,直线l与圆M相交、相切、相离。
解:(1)由圆M的方程可知圆心M(a,0)为r轴上的动点。
(2)根据点到直线的距离公式,得圆心M到直线l的距离为
d
当d5,即-1a4
当d=5,即a=-1或a=4
当d5,即a-1或a4
例2: 如图,已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2
解法1:由直线l与圆的方程,得
3
消去y,得x
因?
所以,直线l与圆的相交,有两个公共点。
由x2-3x+2=0,解得x1=2,x2=1,把x1
故直线l与圆有两个交点,它们的坐标分别是A
解法2: 圆的方程x2+y
可以看出,圆心C的坐标为(0,1),半径长为5.
故点C(0,1)到直线的距离
所以,直线l与圆的相交,有两个公共点。
由x2-3x+2=0,解得x1=2,x2=1,把x1
故直线l与圆有两个交点,它们的坐标分别是A
例3: 若直线x -y+l=0与圆
分析:根据直线与圆的位置关系,利用几何法,可得圆心到直线的距离不大于半径,可得结果。
解: 由圆的方程(x - a)2+
又因直线与圆有公共点,所以可知圆心到直线的距离为
|a
则|a|≤2,因此a的取值范围为-2≤
设计意图:通过案例应用分析,进一步熟悉圆的般方程,使学生掌握待定系数法求解圆的一般方程的步骤,通过与圆相关的轨迹问题的解决,提升学生数形结合及方程思想,发展学生逻辑推理,直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
四、课堂练习
1. 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”。
(1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断。
(2)过圆外一点作圆的切线有两条。
(3)当直线与圆相离时,可求圆上点到直线的最大距离和最小距离。
(4)直线与圆有公共点,则直线与圆相交或相切。
2. 判断直线y=x+1与圆x2
3. 已知圆C的方程是(x一1)2+(y一1)
4. 已知直线方程mx一y一m―1=0,圆的方程x2
参考答案:
1. (1)√(2)√(3)√(4)√。
解析:根据直线与圆的三种位置关系的界定和判定方法进行判断。
2. 相交,但直线不过圆心(详见
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