《排列数公式》示范公开课教案【高中数学北师大】.docxVIP

《排列数公式》教案 教学目标 教学目标 理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导． 教学重难点 教学重难点 教学重点：理解排列数的概念，了解排列数公式的推导过程． 教学难点：排列数公式． 教学过程 教学过程 一．复习引入 问题1：上节课我们学习了排列和排列数的内容，你能说出什么是排列数吗？ 答案：我们把从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，并用符号An 追问１：用排列数符号表示从３个元素中取出２个元素的排列数，并说明排列数与排列有何区别． 答案：表示为A32，已经算得A32=3×2=6．一个排列是指从n个不同元素中，任取m 追问２：用排列数符号表示从４个元素中取出３个元素的排列数，它与追问１中的排列数有什么共同之处？ 答案：表示为A43，已经算得A43=4×3×2=24．两个追问中的排列数，都是从n个不同元素中取出m（ 设计意图：通过复习上节课的内容，加深学生对排列和排列数概念的理解，为引入排列数公式作铺垫． 二．公式推导 问题2：前面我们利用分步乘法计数原理，计算出了排列数An2和An3 答案：我们把从n个不同元素中取出m（m≤n，且m，n∈N+）个元素的排列，看成从n个不同的球中取出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球，我们根据分步乘法计数原理排列这些球： 第1步，从全体n个球中任选一个放入第1个盒子，有n种方法； 第2步，从剩下的(n-1)个球中任选一个放入第2个盒子，有 第3步，从剩下的(n-2)个球中任选一个放入第3个盒子，有 ?? 第m步，从剩下的[n-（m-1）]个球中任选一个放入第m 根据分步乘法计数原理，从n个不同的球中取出m个球的排列，共有种方法． 这样，我们就得到从n个不同元素中取出m（m≤n，且m，n∈N+）个元素的排列共有nn-1n 这个公式，叫做排列数公式． 设计意图：通过利用计数原理求出具体问题的排列数，从特殊到一般，将具体排列数的结果归纳为一般形式，从而得排列数公式． 三．公式辨析 问题3：观察公式的右边，共有几个因数？各因数的大小有什么规律？ 答案：排列数Anm的排列数公式右边有m个因数，各因数从 追问1： 你能利用排列数公式，直接计算出A52，A8 答案：根据排列数公式，我们可以得到：A52=5×4=20 An 特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列．这时，排列数公式中，即有．也就是说，将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积．正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成． 另外，我们规定，． 设计意图：通过辩析公式，把握公式的特点，以便更好地记忆公式，加深对公式的理解，并给出阶乘的概念，规定0！=1． 四．公式应用 例1 计算下列排列数（1）A153； （2）A503； （3）A 问题4：利用排列数公式求排列数A153时，n和 答案：利用排列数公式求排列数A153时，n的值为15，m 解：根据排列数公式，可得（1）A15 （2）A50 （3）A5 （4）A6 设计意图：通过利用公式求排列数，以把握公式的结构，加深对公式的理解． 课堂练习１　先计算，然后用计算工具检验： （1）A124； （2）A88； （3）A 解：根据排列数公式，可得（1）A12 （2）A8 （3）A15 （4）A12 课堂练习2 求证： （1）Anm=n 证明：（1）Anm=n! 即An （2）A8 即A8 设计意图：选择合适的排列数公式进行运算和证明，促进学生把握公式的特征，并掌握公式的使用条件. 例2 利用1，2，3，4这4个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 问题5：这是不是一个排列问题？ 答案：在1，2，3，4这4个数字中，选择三个不同的数字并对其进行排列，是一个排列问题． 解：本题是从1，2，3，4这4个数字中，任意选出3个数字排成一排，有多少种排法的排列问题． 因为A43 例3 现有红、黄、蓝3种颜色的旗子各一面，如果用它们其中的若干面挂在一个旗杆上发出信号，那么一共可以组成多少种信号？ 分析：旗杆上可以挂1面旗子，也可以挂2面、3面旗子，因此，需要分类计数． 由于挂出的旗子顺序不同表示的信号也不同，因此，对每一类来说是一个排列问题． 解：根据分析，可知需要分3类进行： 第1类，旗杆上挂1面旗子，可以组成A3 第2类，旗杆上挂2面旗子，可以组成A3 第3类，旗杆上挂3面旗子，可以组成A3 因此，根据分类加法计数原理，一共可以组成A31+A3 总结：求排列问题的方法可以归纳为以下几步： ①判断排列问题； ②根据计数原理给出用排列数符号表示的运算式子； ③利用排列数公式求出结果． 设计意图：通过应用公式解决问题，及时巩固