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第四章 高阶微分方程4.2.3 质点振动 本节以数学摆的自由振动和强迫振动为例来讨论振动问题
切向分力例2. (数学摆) 一个质量为 的小球, 系在线的一端, 线的另一端系在墙上, 线的长度为 . 将小球拉开一个小角度, 松手使小球摆动, 求小球的运动规律.重力[解]设小球的线速度为
根据牛顿第二定律,得到注意到从而有
1. 无阻尼自由振动:记 通解: 为周期函数. 称为简谐振动.其中: 称为振幅, 为初相位.
周期: 频率角频率:当摆拉到 再松开, 得特解:如取:
2.有阻尼自由振动: 可写为其中
特征根分三种情况:(1). 小阻尼:通解
如取:
(2). 大阻尼:通解如取:
通解图形与(2)类似 .(3). 临界阻尼:(二重根)
3.无阻尼强迫振动: 考虑周期外力作用:当时通解为
如取:
当时通解为称为共振现象. 此时当如取:时,振辐无限增加.
4.有阻尼强迫振动: 考虑周期外力作用:只考虑小阻尼,即 情形.
对应的齐次线性方程的通解为: 设特解为:代入有阻尼强迫振动方程,可求出
于是:
其中:通解为如取:
当时强迫振动项振幅称为共振现象. 此时 称为共振频率.如取:最大,为
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