常微分方程(第四版)课件 王高雄 高等教育出版社 第四章 高阶微分方程(三).pptx

第四章 高阶微分方程4.2.3 质点振动 本节以数学摆的自由振动和强迫振动为例来讨论振动问题 切向分力例2. (数学摆) 一个质量为 的小球, 系在线的一端, 线的另一端系在墙上, 线的长度为 . 将小球拉开一个小角度, 松手使小球摆动, 求小球的运动规律.重力[解]设小球的线速度为 根据牛顿第二定律,得到注意到从而有 1. 无阻尼自由振动：记 通解： 为周期函数. 称为简谐振动.其中： 称为振幅, 为初相位. 周期： 频率角频率:当摆拉到 再松开, 得特解:如取: 2.有阻尼自由振动: 可写为其中 特征根分三种情况：(1). 小阻尼：通解 如取: (2). 大阻尼：通解如取: 通解图形与（2）类似 .(3). 临界阻尼：（二重根） 3.无阻尼强迫振动: 考虑周期外力作用：当时通解为 如取: 当时通解为称为共振现象. 此时当如取:时,振辐无限增加. 4.有阻尼强迫振动: 考虑周期外力作用：只考虑小阻尼,即 情形. 对应的齐次线性方程的通解为: 设特解为：代入有阻尼强迫振动方程,可求出 于是： 其中:通解为如取: 当时强迫振动项振幅称为共振现象. 此时 称为共振频率.如取:最大,为