常微分方程(第四版)课件 王高雄 高等教育出版社 第五章 线性微分方程组(一).pptx

第五章 线性微分方程组速度例: 空间质点运动的方程组微分方程组: SIR模型SIS模型 Volterra 模型 Lorenz 方程 5.1 线性微分方程组的一般理论在 上连续. 记 向量形式 矩阵函数, 向量函数的连续, 可微, 可积定义为它的每一元素的连续, 可微, 可积.初值问题 阶线性微分方程的初值问题 一阶线性微分方程组的初值问题.它们的解等价. 或 注: 一阶线性微分方程组 阶线性微分方程如关于初值问题解的存在唯一性定理: 设在区间上连续, 则对初值问题 (E) 在上存在唯一解.注：由此结论得到上一章关于n阶线性微 分方程初值问题的解的存在唯一性定理. 线性微分方程组的一般理论如果(5.3) 称为一阶齐次线性微分方程组.(5.2) 称为一阶非齐次线性微分方程组.(5.3) 称为对应于(5.2)的齐次线性微分方程组. 1. 叠加原理: 为 (5.3) 的解, 则也为 (5.3)的解. (5.3) 的解集合构成一线性空间.2. 向量函数组的线性相关性及其判断5.1.1 齐次线性微分方程组 定义在区间上的向量函数线性相关, 如果存在不全为 0 的常数 使得成立; 否则称 线性无关.由 构成的行列式称为由构成的朗斯基行列式 1.在上线性相关 注: 其逆不成立, 如2.为 (5.3) 的解, 则线性无关 结论由 (5.3) 的解构成的朗斯基行列式在 上或者恒为 0, 或者处处不为 0.推论为 (5.3) 的解, 3. 一阶齐次线性微分方程组一定存在 个线性无关的解.则有线性相关线性无关 4.为 (5.3) 的 线性无关的解, 则 (5.3) 的任一解可表为 个推论 (5.3) 的线性无关的解最多 个. (5.3) 的 个线性无关的解称为 (5.3) 的一个基本解组. (5.3) 的所有解的解集合构成一个 维线性空间.线性相关线性相关于是可得第四章中相应结论. 用矩阵描述上述结论定义若一个 阶矩阵为 (5.3) 的解矩阵. 的每一列都是 (5.3) 的解, 称在上线性无关, 称若为基解矩阵若称为标准基解矩阵 定理 1(5.3) 必有基解矩阵 若为 (5.3) 的任一解, 则为常向量定理 2(5.3) 的解矩阵 为基解矩阵推论 1为(5.3) 的基解矩阵, C 为可逆阵 也为基解矩阵 推论 2为的两个 阶可逆阵 基解矩阵, 则存在在上成立5.1.2 非齐次线性微分方程组 非齐次线性微分方程组对应齐次线性微分方程组1. (5.2) 的两解之差为 (5.3) 的解易知(5.3) 的解与 (5.2) 的解之和为 (5.2) 的解 定理设 为(5.3) 的基解矩阵, 为 (5.2) 的一个特解, 则 (5.2) 的任一解为常向量常数变易法: 代入 (5.2) 特解通解定理初值问题的解为(常数变易公式， 记住) 例 验证 为 的基解矩阵，并求 满足 的解. 解： 验证略. 由常数变易公式，可得所求解为 例 设 为非齐次线性方程组 的n +1个线性无关解，证明（1）的任何解X(t)可表为 其中 满足证明 非齐次线性方程组 (1) 的两个解之差：为对应齐次线性方程组的解. 现证它们线性无关.设有常数 使即 由 线性无关知于是 (2) 线性无关, 为对应齐次线性方程组的基本解组. 由非齐次线性方程组解的结构，可得 (1) 的任一解可表为其中 即