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第五章 线性微分方程组
小结:
1. 初值问题
解的存在唯一性定理:
一. 线性微分方程组的一般理论
设
在区间
上连续, 则对
初值问题 (E) 在
上存在唯一解.
2. 齐次线性微分方程组 (5.3) 与非齐次线性微分方程组 (5.2) 的解的结构
1. 叠加原理:
为 (5.3) 的解, 则
也为 (5.3)
的解.
2. 由 (5.3) 的解
构成的朗斯基行列式
在
上或者恒为 0, 或者处处不为 0.
线性相关
线性无关
3.
为 (5.3) 的
线性无关的解, 则 (5.3) 的任一解可表为
个
用矩阵描述上述结论
4.
(5.3) 必有基解矩阵
若
为 (5.3) 的任一解, 则
为常向量
(5.3) 的解矩阵
为基解矩阵
6.1
为(5.3) 的基解矩阵, C
为可
逆阵
也为基解矩阵
5.
6.
6.2
为
的两个
阶可逆阵
基解矩阵, 则存在
在
上成立
7.
(5.2) 的两解之差为 (5.3) 的解
(5.3) 的解与 (5.2) 的解之和为 (5.2)的解
设
为(5.3) 的基解矩阵,
为 (5.2) 的一个特解, 则 (5.2) 的任一解
为常向量
8.
常数变易法:
代入 (5.2), 可得
9.
(5.2)的特解
初值问题
的解为
(5.2)的通解
基解矩阵的计算:
如果矩阵 A的特征值有重根,它们 对应的线性无关的特征向量 的个数小于 n , 则分为下面两种情形计算:
则 的基解矩阵为
的基解矩阵为
三. 常系数非齐次线性微分方程组的初值问题
的解为
四. 拉普拉斯变换
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