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华南理工大学期末考试 (A卷)
《2010-11线性代数(上)》试卷
注意事项:1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚;
2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上) ;
3 .考试形式:闭卷;
4. 本试卷共 八 大题,满分100分, 考试时间120分钟。
题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分
得 分
评卷人
一、 填空题(共20分)
1. 设 是 矩阵, 是列向量,那么线性方程组 有解的充要条件是:
2 . 矩阵 是正定二次型的矩阵的条件是:
3 . 设 , 则
4 . 若 为2011阶正交矩阵,则
5 . 将单位矩阵 的第 行乘 加到第 行得到的矩阵记为 , 将矩阵 的第 列乘 加到第 列得
到的矩阵
二、 选择题 (共20分)
1. 如果将单位矩阵 的第 行乘 得到的矩阵设为 ,那么 是正交矩阵的充要条件是:
A , 0 , B ,-1 0
C , =-1 , D , -1
2 . 若 为 矩阵,且 可逆,则
A , ; B , ;
C , 也可逆, D , 以上都不对。
3 . 若 , 为 阶可逆方阵,则以下命题哪一个成立
A , , B ,
C , , D ,
4 . 若 是 阶初等矩阵, 是 的伴随矩阵,则以下命题哪一个不成立:
A ,矩阵 为初等矩阵, B ,矩阵 为初等矩阵
C ,矩阵 为初等矩阵, D ,以上都不对
5 . 如果 ( >1)阶矩阵M的行列式为0 ,那么:
A , M的行向量线性无关, B ,M的列向量线性无关
C , M的秩为0 , D ,以M为系数矩阵的线性方程组有非零解
三、 判断下面的命题是否正确(每小题4分,共12分)(二学分的只需要给出判断,三学分的要求说明
正确的理由或举出不正确的反例)
(1) 已知 , 是矩阵。如果 ,那么 可以经过初等变换化为 。
(2) 如果一个矩阵的行向量组线性无关,那么它的列向量组也线性无关。
(3) 如果一个对称矩阵 的行列式大于0 ,那么它是正定的。
四、 解下列各题(每小题8分共16分)
1.求所有的向量 ,它与 的行向量都是正交的。
2. 设 阶方阵 , 计算 .
五. 求常数c ,使得矩阵 的逆矩阵是 . (10分)
六.证明题(6分) 设 , 是 阶方矩阵, 是 的伴随矩阵, .如果 可逆,证明 .
七.(6分)证明,对于任何一个二次型f都存在一个正定二次型g以及一个整数m ,使得f+mg是一个正定
二次型。
八、 (10分)用正交变换化下列二次型为标准型,并写出该正交变换所对应的矩阵。
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