一动点到两定点的距离的乘积等于定值.docx

kk 第——早 1、一动点到两定点的距离的乘积等于定值Q,求此动点的轨迹(卡西尼卵形线). 解:设两定点间距离为2a,两定点为A(-a,0)和B(a,0),设动点M(x,y)依题意:ImB|m^|=m2即:、；(x+a)2+y2\(x-a)2+y2=m2平方整理即碍：(x2+y2)2-2a2(x2-y2)+a4一m4=0x=t—sint,y=1—cost2、求旋轮线(0 x=t—sint,y=1—cost 2 解：将旋轮线方程代入直线y=3得2=1-COSt,即COSt=-2，由(0t2兀)，得t=攵，t=竺，将t,t代入旋轮线方程便得交点为： 132312（竺-，3）与（箜+，3） 322322 3、把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程（1）y2=x3；（2）x2+y2=a2（a0）（3）x3+y3-3axy=0（a0）解：(1)令x= 解：(1)令x=12，则y2=16 故y=t3。所以参数方程为 （-8t8） (2)令x3COS40，则y=Qsin40。所以参数方程为Jx Jx=acos40 y=asin40 (002兀) (3)设y=tx，代入方程得x2[x(1+13)-3at]=0.则x=0或x=3(t^-1) 故x=邑1+ 故x=邑 1+13 (它包含x=0的情形，因可取t=0)，t。-13at 1+13 4、一动点移动时，与A(4,0,0)及xoy平面等距离，求该动点的轨迹方程。 解：设在给定的坐标系下，动点M(x,y,z)，所求的轨迹为C，则M(x,y,z)gC=MA=|z|亦即、..(x-4)2+y2+z2=|z| (x—4)2+y2=0由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为(x-4)2+y2=05、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程： 到两定点距离之比为常数的点的轨迹；到两定点的距离之和为常数的点的轨迹；到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。 解：(1)取二定点的连线为x轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常数为m，二定点的距离为2a，则二定点的坐标为(a,0,0),(-a,0,0)，设动点M(x,y,z)，所求的轨迹为C，贝VM(尤，y,z)eC。((x-a)2+y2+孕=叭(x+a)2+y2+z2亦即(x-a)2+y2+z2=m2[(x+a)2+y2+z2]经同解变形得：(1一m2)(x2+y2+z2)一2a(1+m2)x+(1一m2)a2 亦即(x-a) （2）建立坐标系如（1），但设两定点的距离为2c，距离之和常数为2a。 设动点M（x,y,z），要求的轨迹为C，贝VM(x,y,z)eCO、.?(x-c)2+y2+z2+、((x+c)2+y2+z2=2a亦即‘GF+y2+z2=2a-*(x+c)2+y2+z2两边平方且整理后，得:( 两边平方且整理后，得: (a2-c2)x2+a2y2+a2z2=a2(a2-c2) (1)从而(】)为b2x2+a2y2+a2z2=a2b2艮P：b2x2+a2y2+a2z2=a2b2由于上述过程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。 （3）建立如（2）的坐标系，设动点M（x,y,z），所求的轨迹为C，贝VM(x,y,z)eCO(x-c)2+y2+z2+、；(x+c)2+y2+z2=±2a类似于（2），上式经同解变形为：抒-21-买=1a2b2c2其中b2=c2-a2(c 其中 b2=c2-a2(c|a|) （4）取定平面为xoy面，并让定点在z轴上，从而定点的坐标为（0,0,c），再令距离之比为m。 设动点M3,y,Z)，所求的轨迹为C，贝M(尤,y,z)eCov;x2+y2+z2=m|z| 将上述方程经同解化简为：x2+y2+(1-m2)z2-2cz+c2=0(*)(*)即为所要求的轨迹方程。 6、求下列各球面的方程： 中心(2,-1,3)，半径为；R=6中心在原点，且经过点(6,-2,3)；一条直径的两端点是(2-3,5)与(4,1,-3)通过原点与(4,0,0),(1,3,0),(0,0,-4)解：(1)由本节例5知，所求的球面方程为： (x—2)2+(y+1)2+(Z—3)2=36 由已知，球面半径R=.\；62+(-2)2+32=7所以类似上题，得球面方程为x2+y2+z2=49 由已知，球面的球心坐标a=2；4=3,b=-；+1=-1,c=5—3=1，球的半径R=上如-2)2+(1+3)2+(5+3)2^-21，所以球面方程为： 2、(x-3)2+(y+1)2+(Z-1)2=21 设所求的球面方程为：x2+y2+Z2+2gx+2hy+2kz+1=0因该球面经过点(0,0,0),(4,0,0),(1,3,0),(0,0,-4)，所以7=0（1）16+8g=0〈一一一一一