(完整版)因式分解的常用方法及练习题.docx

1 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解 决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分 解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中 数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数 学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法. ：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)平方差公式： (a+b)(a-b) = a2-b2 (2) 完全平方公式： (a±b)2 = a2 ±2ab+b2 (3) 立方和公式： a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) (4) 立方差公式： a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) (5)完全立方公式： (a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3 下面再补充两个常用的公式： (6)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (7)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 三、分组分解法. (一)分组后能直接提公因式 例 1、分解因式： am + an + bm + bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看， 这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组， 后两项分为一组先分解， 然后再考虑两组之间的联系。 解：原式= (am + an) + (bm + bn) 每组之间还有公因式！= a(m + n) + b(m + n) 每组之间还有公因式！ = (m + n)(a + b) 解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。 原式= (2ax 一 bx) + (一 解法二：第一、四项为一组； 第二、三项为一组。 原式= (2ax 一 bx) + (一10ay + 5by) = x(2a 一 b) 一 5y(2a 一 b) = (2a 一 b)(x 一 5y) 2、xy 一 x 一 y + 1 解法一：第一、二项为一组； 第三、四项为一组。 解：原式= (2ax 一 10ay) + (5by 一 bx) = 2a(x 一 5y) 一 b(x 一 5y) = (x 一 5y)(2a 一 b) 练习：分解因式 1、a 2 一 ab + ac 一 bc (二)分组后能直接运用公式 例 3、分解因式： x 2 一 y 2 + ax + ay 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解， 所以只能另外分组。 解：原式= (x2 一 y 2 ) + (ax + ay) = (x + y)(x 一 y) + a(x + y) = (x + y)(x 一 y + a) 例 4、分解因式： a 2 一 2ab + b2 一 c 2 解：原式= (a 2 一 2ab + b2 ) 一 c 2 = (a 一 b)2 一 c 2 = (a 一 b 一 c)(a 一 b + c) 2 练习：分解因式 3、x 2 一 x 一 9y 2 一 3y 4、x 2 一 y 2 一 z 2 一 2yz 综合练习： (1) x3 + x2 y 一 xy 2 一 y 3 (2) ax 2 一 bx 2 + bx 一 ax + a 一 b (3) x 2 + 6xy + 9y 2 一 16a 2 + 8a 一 1 (4) a 2 一 6ab + 12b + 9b2 一 4a (5) a 4 一 2a3 + a 2 一 9 (6) 4a 2 x 一 4a 2 y 一 b 2 x + b2 y (7) x 2 一 2xy 一 xz + yz + y 2 (8) a 2 一 2a + b2 一 2b + 2ab + 1 (9) y(y 一 2) 一 (m 一 1)(m + 1) (10)