多元函数微分学的应用.pptxVIP

第十一章 第六节多元函数微分学的应用1.空间曲线的切线与法平面2. 曲面的切平面与法线第一页，共三十七页。 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在极限位置.空间光滑曲线?在点 M 处的切线为此点处割线的该点的法平面.1.空间曲线的切线与法平面第二页，共三十七页。 (1) 曲线方程为参数方程的情形 Γ上点 处的切线的方向向量第三页，共三十七页。 Γ上点 处的切线方程称为曲线Γ的切向量不全为0, 法平面方程 第四页，共三十七页。 注.若光滑曲线Γ表示为：切线方程：法平面方程：第五页，共三十七页。 ? ：(2) 曲线方程为一般方程的情形第六页，共三十七页。 第七页，共三十七页。 切线方程：或法平面方程为：第八页，共三十七页。 解切线方程:法平面方程:例1求空间曲线的切线（或法平面）：一求切点；二求切向量.切线方程:法平面方程:第九页，共三十七页。 解例2第十页，共三十七页。 第十一页，共三十七页。 例3 求曲线在点M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 解法1则切向量第十二页，共三十七页。 点 M ( 1,–2, 1)， 切向量：切线方程即法平面方程即第十三页，共三十七页。 (1) 形如 F(x, y, z)=0 的曲面的切平面与法线若光滑曲面? ： 可以证明： ? 上通过点M0, 且在点M0处有切线的任一曲线在该点的切线都在同一平面上， 该平面称为M0处的切平面。M0t02.曲面的切平面与法线过 M0点且与切平面垂直的直线称为曲面在该点的法线.第十四页，共三十七页。 M0t0曲线在M0 处的切向量：在曲面?上任取一条通过点M0 的曲线证第十五页，共三十七页。 M0处任一曲线在该点的切线都在同一平面上.第十六页，共三十七页。 法线方程切平面方程—— 曲面F(x, y, z)= 0在点M0的法向量第十七页，共三十七页。 例4 求椭球面在点(1 , 2 , 3)处的切平面及法线方程. 解所以在球面上点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程 即法线方程法向量令第十八页，共三十七页。 例5证第十九页，共三十七页。 第二十页，共三十七页。 例6解设 为曲面上的切点,则切平面的法向量：第二十一页，共三十七页。 第二十二页，共三十七页。 (2) 形如 z = f (x, y) 的曲面的切平面与法线若光滑曲面? ： 曲面z=f (x,y)在点M0的法向量 法线方程:一求切点, 二求曲面的法向量.第二十三页，共三十七页。 例7解第二十四页，共三十七页。 解例8第二十五页，共三十七页。 注.求光滑曲线切向量的第二种方法：第二十六页，共三十七页。 例3 在点M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 切线方程解法2即曲线的切向量：求曲线的法向量分别为：法平面方程即第二十七页，共三十七页。 1. 空间曲线的切向量（1）参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结空间光滑曲线切向量 ①（2）一般式情况.第二十八页，共三十七页。 ②2. 曲面的法向量（1） 曲面方程为隐式其法向量（2） 曲面方程为显式其法向量其中第二十九页，共三十七页。 思考与练习1. 如果平面与椭球面相切,提示: 设切点为则(二法向量平行) (切点在平面上)(切点在椭球面上)第三十页，共三十七页。 证明 曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示: 在曲面上任意取一点则通过此2. 设 f ( u ) 可微,证明原点坐标满足上述方程 .点的切平面为第三十一页，共三十七页。 备用题与定向量平行,分析 只须证曲面上任一点处的法向量与 定向量垂直.取定向量为则故结论成立 .的所有切平面恒1. 证明曲面问题 观察一下,定向量是什么?证 曲面上任一点的法向量第三十二页，共三十七页。 例1解第三十三页，共三十七页。 求空间曲线的切线（或法平面）：一求切点；二求切向量.第三十四页，共三十七页。 2. 求曲线在点(1,1,1) 的切线解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.第三十五页，共三十七页。 3.求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解: 由于对应的切向量为在, 故第三十六页，共三十七页。 4. 确定正数? 使曲面在点解: 二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切, 故又点 M 在球面上,于是有相切.与球面, 因此有第三十七页，共三十七页。