三角变换中“变”的技巧.docxVIP

三角变换中“变”的技巧 （山东枣庄市第二中学277400） 张慧敏 三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具．高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段．三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．下面谈谈三角变换中“变”的技巧. 1、变角 　　三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，这时可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解。常用的角的变换有：==-=，，=，等。 例1. 求的值. 分析：解此题的关键是对题中各角之间的内在关系是否看得准.如本题中含有角70、150、80发现它们之间的关系是150=70+80，故可以把70拆成150-80，同理+α可以拆成两角差即(α+β)-(β-)，这也相当于把+α加一个β又减去一个β. 解：= 点评：进行三角变换的技巧常常是变角_注意角的和、差、倍、半、互补、互余关系，根据实际情况，对角进行“拆”或“添”变形.这样可以大大减少运算量。 　　2、变名 　　三角变形中，常常需要变不同名函数为同名函数。通常是化切、割为弦，变异名为同名。 例2：求证． 分析：观察左、右两边式子间的差异，若选择“从左证到右”，则“切化弦”的方法势 在必行；若选择“从右证到左”，则倍角公式应是必用公式． 　　证法一：左边 　　 右边． 证法二：右边 左边． 点评：切割化弦是三角变换的一种常用方法，若能把所给式子中的三角函数都化成同名、同角的三角函数，则此三角函数式的化简，实质上是代数式的变换． 　　3．变“1” 　　在三角变换中，“1”的变换有：1= =，等等。在具体变换中，要根据题目的不同特征选择不同的变换方式。 　　例3：已知： ，求的值。 　　解：由已知得，， 　　 = 　　= ===。 　　点评：这里把分母中的“1”用“”代替，分子中的“2”写成“2×1”后，再代换。 　　4．变幂 　　降幂是三角变换常用的方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理。常用的降幂公式有：，，当然有时需要升幂，如对 的化简就要用升幂。 　　例4：求函数的最小正周期及最大值和最小值。 　　解：= 　　= 　　= 　　所以，函数的最小正周期是，最大值是，最小值是。 　　5．变公式 　　熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形用，可开拓解题思路，达到化难为易的目的。 如由公式，可变为，；由 可变为；由可得 等等。 　　例5：在ABC中，已知A，B，C成等差数列，求的值。 　　解： A，B，C成等差数列 　　又，A+B+C=180 　　A+C=120 　　= 　　= 　　==。 　　点评：若三角函数式中，同时出现与，常可用。 　　6．变结构 　　在三角变换中，有时需要对条件或结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或乘除互换，分解因式，配方等等。 　　例6：求证： 　　证明：变换命题，改证： 　　2 　　上式左边= 　　= 　　==右边 　　原命题成立。 　　7．引入辅助角 　　形如的形式可化为，这里辅助角所在的象限由的符号确定，角的值由确定。 　　例7：已知函数的图象关于直线对称，试求的值。 　　解： 　　= 　　= 　　其中。 　　由于余弦函数的对称轴为，所以，即， 　　那么，，得，即是，， 　　所以，。 点评: 方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用. 练一练 　　1、求：的值 　　2、求的值 　　3、化简： 　　参考答案： 　　1、解：原式 　　2、解：原式 小结：式中“1”为了解题的需要将其变为 　　3、解：原式