三角函数的个解题锦囊.docxVIP

《三角函数》的16个解题锦囊 浙江泰顺县第一中学（325500） 曾安雄 锦囊1－－－遇求象限问题，运用等分象限法 一．“等分象限”法介绍： 已知的象限，则的象限有如下锦囊：可先将各个象限n等分，从第一象限离x轴最近的区域开始逆时针方向依次重复标注数码1、2、3、4，直到将所有区域标完为止．如果在第几象限，则就在图中标号为几的区域内．如： ⑴判断的象限．如图⑴所示，将各象限2等分，若在第三象限，则就在图中标号为3的区域内，即二、四象限的前半区域． ⑵判断的象限．如图⑵，若在第三象限，则就在图中标号为3的区域内，即一、三、四象限．依此类推． 二．锦囊的应用 例1⑴ 若终边位于第二象限，则tan______0； ⑵ 若sin＜0且cos＜0，则所在的象限为_________． ⑶若为第四象限角，则能确定负值的是( ) (A) cos2 (B) sin2 (C) cot2 (D) tan2 ⑷设属于第三象限，且则属于第几象限( ) A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 解：由锦囊(如图1，2)，易知 ⑴在一、三象限，则有tan＞0． ⑵由题意知在第三象限，故有在二、四象限． ⑶由题意，知2在三、四、y轴的非正半轴，则有sin2＜0，故选(B)． ⑷由为第三象限的角时，为第二或第四象限的角。由可知，故为第二象限的角，应选B。 锦囊2－－－－遇给角求值，运用“新”诱导公式 一．“新”诱导公式介绍： 运用课本中介绍的五组诱导公式，要逐步诱导，才能转化为锐角的三角函数求值．下面介绍一步到位地转化为的“新诱导公式”： ⑴ sin(k＋)＝sin(k∈Z)； ⑵ cos(k＋)＝cos(k∈Z)； ⑶ tan(k＋)＝tan(k∈Z)； ⑷cot(k＋)＝cot(k∈Z)． 证明：若k＝2n(n∈Z)，则 sin(k＋)＝sin(2n＋)＝sin＝sin． 若若k＝2n＋1 (n∈Z)，则 sin(k＋)＝sin[(2n＋1)＋]＝sin(2n＋＋)＝－sin＝sin． 故sin(k＋)＝sin(k∈Z)．同理可证其余三式． 二．锦囊的应用 例2 求下列各式的值： ⑴ sin； ⑵ cos； ⑶ tan(－)； ⑷ cot()． 解：由新诱导公式，得 ⑴ sin＝． ⑵ ． ⑶ ． ⑷ ． 锦囊3－－－－遇sin±cos问题，用“八卦图” 一．“八卦图”介绍： 在平面直角坐标系中，两坐标轴及各象限的角平分线将单位圆等分为八部分（如图1）．我们可形象地称之为“八卦图”． ①＞0(或＜0)的终边在直线的上(或下)方； ②＞0(或＜0)的终边在直线的上(或下)方． ③的终边在Ⅱ、Ⅲ区域内|sin|＞| cos|； ④的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内|sin|＜| cos|． 证明：由三角函数的定义，sin＝，cos＝，则极易得到sin±cos的符号，即sin±cos＝，故符号由y±x决定，故得①、②，同理易得③、④． 二．锦囊的应用 例3⑴在(0，2)内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围为（ ） (A) (，)∪(，) (B) (，) (C) (，) (D) (，)∪(，) ⑵如果是第三象限角，且满足＞0，那么是（ ） A. 第四象限角 B. 第三象限角 C. 第二象限角 D. 第一象限角 若sin2xcos2x，则x的取值范围是 ( ) (A) (B) (C) (D) 解：⑴由sinx＞cosx，即sinx－cosx＞0，故x应在直线y－x＝0上方的区域，故选(C)． ⑵∵＞0，即的角的终边在直线x＋y＝0的上方，故选(C)． ⑶原不等式等价于|sin|＞| cos|，应在Ⅱ、Ⅲ区域，故选(D)． 锦囊4－－－－比较正弦与正切，运用一个三角不等式 一．一个三角不等式介绍： 若0＜x＜，则sinx＜x＜tanx． 证明：如图作单位圆，OP为角x的终边，图中MP，，AT则分别表示sinx，x，tanx． ∵ ， 即OA?MP＜OA?＜OA?AT． ∴ MP＜＜AT． 即sinx＜x＜tanx． 注：当x＝0时，可得sinx＝x＝tanx＝0；结合正弦函数的特点，知x＞0时，有x＞sinx；当x＜0时，有x＜sinx． 二、锦囊应用 例4 ⑴方程sinx＝x的根的个数为( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 ⑵在[0，2]内，y＝sinx与y＝tanx的交点个数为( ) (A) 1个 (B) 3个 (C) 5个 (D) 7个 ⑶sin，cos，tan从小到大的顺序是_________． 解：⑴由锦囊知，x＞0时，x＞sinx．