课题学习 最短路径问题 配套练习 2022-2023学年人教版八年级数学上册.doc

第PAGE1页（共NUMPAGES1页） 课题学习 最短路径问题 配套练习 A组：基础题 1．如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（　　） A． B． C． D． 2、（2020春?益阳期末）河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE＝FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，垂足为C，那么DC就是造桥的位置．请说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由．  B组 能力提升题 1．如图，某河在CC′处直角拐弯，河宽均相同，现要在河流拐弯的两旁分别造桥DD′，EE′，桥要与河垂直，问如何造桥可使ADD′E′EB的路程最短？ 2如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为 　 　． 参考答案与试题解析 A组 1．（2021春?奉化区校级期末）如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称﹣最短路线问题；平行线的性质． 【专题】几何图形问题． 【分析】虽然P，Q两点在河两侧，但连接P，Q的线段不垂直于河岸．关键在于使PM+NQ最短，但PM与QN未连起来，要用线段公理就要想办法使M与N重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的． 【解答】解：如图，作PP垂直于河岸L，使PP′等于河宽， 连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L， 则MN∥PP′且MN＝PP′， 于是四边形PMNP′为平行四边形，故PM＝NP′． 根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短． 观察选项，选项C符合题意． 故选：C． 【点评】考查了轴对称﹣最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法． 2（2020春?益阳期末）河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE＝FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，垂足为C，那么DC就是造桥的位置．请说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由． 【考点】轴对称﹣最短路线问题；平行线；平行线的性质． 【专题】平移、旋转与对称；应用意识． 【分析】利用平行四边形的性质以及两点之间线段最短解决问题即可． 【解答】解：利用图形平移的性质及连接两点的线中，线段最短，可知： AC+CD+DB＝（ED+DB）+CD＝EB+CD． 而CD的长度又是平行线PQ与MN之间的距离，所以AC+CD+DB最短． 【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，解题的关键是学会利用轴对称以及平行四边形的性质解决最短问题，属于中考常考题型． B组 3．如图，某河在CC′处直角拐弯，河宽均相同，现要在河流拐弯的两旁分别造桥DD′，EE′，桥要与河垂直，问如何造桥可使ADD′E′EB的路程最短？ 【考点】轴对称﹣最短路线问题． 【专题】平移、旋转与对称；应用意识． 【分析】由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADD′E′EB通过轴对称直接转化为线段，需要构造平行四边形将AD、BE平移至D′F、E′G，即可得到桥所在位置． 【解答】解：作AF⊥CD，且AF＝河宽， 作BG⊥CE，且BG＝河宽， 连接GF，与河岸相交于E′、D′． 作DD′、EE′即为桥． 证明：由作图法可知，AF∥DD′，AF＝DD′， 则四边形AFD′D为平行四边形， 于是AD＝FD′， 同理，BE＝GE′， 由两点之间线段最短可知，GF最小； 即当桥建于如图所示位置时，ADD′E′EB最短． 【点评】此题考查了轴对称﹣﹣﹣最短路径问题，由于有固定长度的线段，常用的方法是构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答． 【点评】此题考查了轴对称﹣﹣﹣最短路径问题，由于有固定长度的线段，常用的方法是构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答． 考点卡片 1．垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和