10 圆内接正多边形（含答案析）-挑战压轴题九年级数学下册压轴题汇编（北师大版）.docx

2021-2022学年北师大版数学九年级下册压轴题专题精选汇编 专题10 圆内接正多边形 一．选择题 1．（2021?贵阳）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（　　） A．144° B．130° C．129° D．108° 【思路引导】先根据五边形的内角和求∠E＝∠D＝108°，由切线的性质得：∠OAE＝∠OCD＝90°，最后利用五边形的内角和相减可得结论． 【完整解答】解：正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°， ∴∠E＝∠D＝108°， ∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点， ∴∠OAE＝∠OCD＝90°， ∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°， 故选：A． 2．（2021?于洪区一模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为（　　） A． B． C．π D． 【思路引导】根据已知条件得到∠AOB＝60°，推出△AOB是等边三角形，得到OA＝OB＝AB＝2，根据扇形的面积公式即可得到结论． 【完整解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴∠AOB＝60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝2， ∴扇形AOB的面积＝＝， 故选：B． 3．（2020秋?洛阳期末）如图，边长为2+的正方形，剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的边长为（　　） A．0.5 B． C．1 D． 【思路引导】设正八边形的边长为x，表示出剪掉的等腰直角三角形的直角边，再根据正方形的边长列出方程求解即可． 【完整解答】解：设正八边形的边长为x，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为x， ∵正方形的边长为2+， ∴x+x+x＝2+， 解得x＝＝， ∴正八边形的边长为， 故选：D． 4．（2021春?迁安市期末）一个正多边形的边长为2，它的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的周长是（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 【思路引导】设正多边形的边数为n，利用多边形的内角和公式和外角和定理即可解答． 【完整解答】解：设正多边形的边数为n，由题意得： （n﹣2）?180°＝3×360°， 解得：n＝8， ∵这个正多边形的边长为2， ∴这个正多边形的周长为16． 故选：D． 5．（2021?河北）如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，S△AFO＝8，S△CDO＝2，则S正六边形ABCDEF的值是（　　） A．20 B．30 C．40 D．随点O位置而变化 【思路引导】正六边形ABCDEF的面积＝S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC，由正六边形每个边相等，每个角相等可得FD＝AF，过E作FD垂线，垂足为M，利用解直角三角形可得△FED的高，即可求出正六边形的面积． 【完整解答】解：设正六边形ABCDEF的边长为x， 过E作FD的垂线，垂足为M，连接AC， ∵∠FED＝120°，FE＝ED， ∴∠EFD＝∠FDE， ∴∠EDF＝（180°﹣∠FED） ＝30°， ∵正六边形ABCDEF的每个角为120°． ∴∠CDF＝120°﹣∠EDF＝90°． 同理∠AFD＝∠FAC＝∠ACD＝90°， ∴四边形AFDC为矩形， ∵S△AFO＝FO×AF， S△CDO＝OD×CD， 在正六边形ABCDEF中，AF＝CD， ∴S△AFO+S△CDO＝FO×AF+OD×CD ＝（FO+OD）×AF ＝FD×AF ＝10， ∴FD×AF＝20， DM＝cos30°DE＝x， DF＝2DM＝x， EM＝sin30°DE＝， ∴S正六边形ABCDEF＝S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC ＝AF×FD+2S△EFD ＝x?x+2×x?x ＝x2+x2 ＝x2 ＝（AF×FD） ＝30， 故选：B． 6．（2021?山西）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π B．4π C． D． 【思路引导】由正六边形ABCDEF的边长为2，可得AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝120°，进而求出∠BAC＝30°，∠CAE＝60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH＝CH，BH＝1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH＝，得到AC＝2，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积． 【完整解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2， ∴AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝＝120°， ∵∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°， ∴∠BAC＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣120°）＝30°， 过B作BH⊥AC于H， ∴AH＝CH，BH＝AB＝×2＝1， 在Rt△ABH中， AH＝＝＝， ∴A