2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册 向量的数量积 课件.pptxVIP

向量的数量积 新知探究问题1　前面我们已经学习了向量的加法和减法，请你归纳一下它们的结果有什么共同的特点？向量的加法和减法的运算结果仍是向量． 新知探究问题2　向量与向量之间有没有“乘法”呢？如果有，这种新的运算结果又是什么呢？还有，向量的加法与减法都能从物理学知识找到“原型”，如力的合成与分解．那么，在物理学中有没有关于向量乘法的“原型”呢？请你具体说说．向量与向量之间有“乘法”，其运算结果是数．如图所示，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝｜F｜｜s｜cos θ，其中θ是F与s的夹角，注意θ要满足的条件是0°≤θ≤180°．sFF1F2θ 新知探究问题3　物理学中“求力所做的功”是两个矢量间的某种运算，在数学上，矢量不考虑作用点就是向量，如果是两个向量，你能“定义”这种新的运算吗？思考后完成下表．两个矢量F和s两个向量a与bF和s的夹角θW＝｜F｜｜s｜cos θa·b＝｜a｜｜b｜cos θa与b的夹角是θ 新知探究问题4　零向量有没有数量积呢？应该如何定义？有，零向量的数量积是零． 新知探究问题5　向量夹角与数量积的符号有什么关系？当0°≤a，b ＜ 90°时，a·b＞0；当a，b＝90°时，a·b＝0；当90°＜a，b≤180°时，a·b＜0；当a，b＝0°时，a·b＝｜a｜｜b｜；当a，b＝180°时，a·b＝－｜a｜｜b｜． 新知探究?A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形?又∵B为△ABC的内角，∴cos B＜0，∴ ＜B＜π，故A正确．?A 新知探究问题7　在初中我们学过的投影的定义是什么？一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影． 新知探究水平的力在做功，即功还可以理解为力F的水平分力的大小｜F｜cos θ与位移的大小｜s｜的乘积．问题8　回到功的物理意义：小物块在力F的作用下在水平方向上运动位移s，如果把力F分解成水平分力和垂直分力，那么哪个力在真正做功呢？问题9　再抽去物理意义，｜b｜cos θ的含义是什么呢？向量b在a方向上的投影． 新知探究问题10　根据上述分析，你能给出投影向量的定义吗？如图所示，已知两个非零向量a和b，??｜a｜cosa，b称为投影向量r的数量，也称为向量a在向量b方向上的投影数量，BAA′brO可以表示为a· ．?a 新知探究问题11　向量数量积的几何意义是什么？几何意义是：或a的长度｜a｜与b在a方向上投影数量｜b｜cos θ的乘积．a与b的数量积等于b的长度｜b｜与a在b方向上的投影数量｜a｜cos θ的乘积． 新知探究问题12　已知两个非零向量a ，b ，θ为a与b的夹角，e为与b 方向相同的单位向量．据数量积公式，计算a·e，a·a．a·e＝｜ a ｜｜ e ｜cos θ＝｜ a ｜cos θ，a·a＝｜ a ｜·｜ a ｜cos 0°＝｜ a ｜2． 新知探究追问1：若a·b＝0，则a与b有什么关系？a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cos θ＝0，θ＝90°，a⊥b．追问2：当θ＝0°和180°时，数量积a·b分别是什么？当θ＝0°时，a·b＝｜ a ｜·｜b｜；当θ＝180°时，a·b＝－｜ a ｜·｜b｜． 新知探究问题13　你能写出向量数量积的性质吗？数量积的性质（1）若e是单位向量，则e·a＝a·e＝｜a｜cos θ．（2）若a·b＝0?a⊥b．?（4）cos θ＝ （｜a｜｜b｜≠0）．?（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜，当且仅当a∥b时等号成立． 新知探究问题14　a·（b·c）＝（a·b）·c成立吗？（a·b）·c≠a·（b·c），因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，因此，（a·b）·c＝a·（b·c）在一般情况下不成立．所以（a·b）·c与向量c共线，a·（b·c）与向量a共线． 例1　如图，已知向量a与b，其中｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a与b的夹角是150°．初步应用（1）求a·b；（2）求向量b在a方向上的投影数量，并画图解释．??（详解参考教材P102例1的解析）ababOBB1Aθ 初步应用例2　已知向量a，b，c，其中｜a｜＝4，｜b｜＝6，且a与c的夹角θ＝120°，b与c的夹角γ＝60°，求a＋b在c方向上的投影数量．1（详解参考教材P103例2的解析） 例1　已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a－b）＝43．初步应用（1）求a与b的夹角θ；（3）若（a－b）⊥（a＋λb），求实数λ的值．（2）求｜a＋b｜；解答：（1）∵（2a－3b）·（2a－b）＝4a2－8a·b＋3b2＝64－8a·b＋27＝43，∴a·b＝6，即｜a｜·｜b｜cos θ＝12cos θ＝6，∴cos