2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册 余弦定理与正弦定理（3） 课件.pptxVIP

余弦定理与正弦定理第3课时 新知探究问题1　正弦定理如何描述？文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．符号语言：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，则? 新知探究问题2　想一想正弦定理的常见变形有哪些？（1）sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；（2）? 新知探究问题3　我们知道每个三角形都有外接圆，请问外接圆的直径与正弦定理之间有关系吗？有什么关系呢？有，?? 新知探究问题4　在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．对任意三角形都成立吗？??当C为锐角或钝角时，如图．所以AB＝c＝2R，所以 ，?由正弦定理得?在Rt△AB′C中，?AABBCCB′B′ 新知探究问题4　在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．对任意三角形都成立吗？?根据同弧的圆周角相等得B＝B′，所以上式对任意三角形都成立．所以 ，?在△ABC中，由正弦定理得?所以?AABBCCB′B′ 新知探究问题5　根据　 　　　　　　　　　　，你能推出正弦定理的哪些变形？?若R为△ABC外接圆的半径，则（1）a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；（2）sin A＝ 　，sin B＝ 　，sin C＝　 ；???（3）? 新知探究追问：在△ABC中，A＝ ，BC＝4，则△ABC外接圆的面积为________．?解析：设△ABC外接圆的半径为R，故△ABC外接圆的面积为πR2＝8π．则?8π 新知探究问题6　已知两条边的边长和其中一边的对角的大小解三角形，它的解有几种情况？已知两角一边，有解时，只有一解；已知两边及其一边的对角，有解的情况可分别为几种情况．A为锐角时，若a＜b sin A，无解；A为钝角或直角时，若a＝b，a＜b，均无解；a＝b sin A或a≥b，一解；b sin A＜a＜b，两解；a≥b，一解． 新知探究追问：已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A＝60°，c＝6，a＝6，则此三角形有几解？由等边对等角可得C＝A＝60°，由三角形的内角和可得B＝60°，所以此三角形为正三角形，有唯一解． 新知探究问题7　判断三角形形状时，围绕三角形的边角关系，如何利用正弦定理进行边角互化？利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径：（1）化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识（分解因式、配方等）得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2，或余弦定理，进而确定三角形的形状．利用的公式为sin A＝ 　，sin B＝ 　，sin C＝　 ． ??? 新知探究问题7　判断三角形形状时，围绕三角形的边角关系，如何利用正弦定理进行边角互化？利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径：（2）化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C． 例1　已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin ＝b sin A，b＝3．初步应用?（1）求△ABC外接圆的面积；?解答： （1）由正弦定理，sin A sin ＝sin Bsin A，?故?因为sin ＞0，?所以cos　　　＞0，?故 ＝60°，则B＝120°，?故R＝ 　　　　 ，则△ABC外接圆的面积为3π．? 例1　已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin ＝b sin A，b＝3．?又b＞a，所以A＝30°．初步应用?（1）求△ABC外接圆的面积；?由正弦定理得：?所以sin A＝? 例2　在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状． 初步应用解答：法一（化角为边）将已知等式变形为b2（1－cos2C）＋c2（1－cos2B）＝2bccos Bcos C． 由余弦定理并整理，得?∴A＝90°．?∴ b2＋c2?∴△ABC是直角三角形． 例2　在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状． 初步应用法二（化边为角）由正弦定理，已知条件可化为sin2Csin2B＋sin2Csin2B＝2sin Bsin Ccos Bcos C．又sin Bsin C≠0，又∵0°＜B＋C＜180°，∴△ABC是直角三角形．∴sin Bsin C＝cos Bcos C，即cos（B＋C）＝0．∴B＋C＝90°，∴A＝90°． 初步应用例3　台风中心位于某市正东方向300 km处