多元函数极限与连续.pptxVIP

数学分析复习（二）多元函数的极限与连续一、多元函数的极限定义 设D?Rn,f:D→R.点a∈Rn是D的一个聚点(a∈D′),s∈R.如果??0,??0,当x?D及则称函数f在点a处有(重)极限，或当x趋于a时,f(x)趋于s,记作或|f(x)-s|?,1第一页，共三十页。 定义 设D?Rn为函数f的定义域，P0为D的一个聚点。如果?M0,?P0的一个?空心邻域使当P∈∩D时,,则称f在D上当P→P0时，存在非正常极限+∞，记作无穷小量的定义与性质.2第二页，共三十页。 命题： 设D?Rn,f:D→R.点P0(x0,y0)∈Rn是D的一个聚点(P0∈D′),A∈R.P(x,y) ∈D3第三页，共三十页。 4第四页，共三十页。 性质:(1)四则运算法则(2)归结原理(3)唯一性、局部有界性、局部保号性(3)无穷小量性质5第五页，共三十页。 如何求多元函数的极限？（1）由定义求多元函数的极限。例1 证明:证明:例2 证明:6第六页，共三十页。 例3 证明:证明：7第七页，共三十页。 此时，8第八页，共三十页。 (2)利用极限的四则运算和复合运算求极限.(经变形后)9第九页，共三十页。 10第十页，共三十页。 (3)化为一元函数求极限.如11第十一页，共三十页。 (4)应用代换x=rcos?,y=rsin?(0≤r∞),使求的问题，变为求的问题。但必须要求当r→0的过程中，与?的取值无关。如12第十二页，共三十页。 （5）利用无穷小量性质（无穷小量与有界量之积仍为无穷小量)，如13第十三页，共三十页。 (6)夹逼准则：设D?Rn,P0∈D′, 且则例 求解： 因为极限过程为x→+∞,y→+∞,可设x0,y0.于是14第十四页，共三十页。 例 求解：所以15第十五页，共三十页。 例 求下列极限：（1）可设2≤x≤4,|y|≥8.16第十六页，共三十页。 17第十七页，共三十页。 18第十八页，共三十页。 例 证明下列极限不存在:(利用归结原理的推论)19第十九页，共三十页。 20第二十页，共三十页。 二、多元连续函数 定义 性质（局部性质与有界闭集上的连续函数的性质） 一致连续 有界闭区域上连续函数的性质21第二十一页，共三十页。 (二)多元函数连续的定义定义 设f 是定义在点集D?Rn上的n元函数，P0∈D（P0或者是D的聚点，或者是D的孤立点）。若??0,??=?(P0, ?)0,只要P?U(P0,?) ∩D,就有则称f关于集合D在点P0连续，简称f在点P0连续。若P0是D的孤立点，则P0必为f关于D的连续点;22第二十二页，共三十页。 若P0是D的聚点,则f在P0点连续，要求满足：(1)f在P0点有定义f(P0);(2)(3)若f在D上每一点都连续，则称f在D上连续。如果P0是D的聚点，而不成立，则称P0是f的不连续点（或间断点）。特别，当上式左端的极限存在但不等于f(P0),称 P0是f的可去间断点。23第二十三页，共三十页。 P.136:第1题:讨论下列函数的连续性:而及所以24第二十四页，共三十页。 25第二十五页，共三十页。 第9题:设f在R2上连续，且证明: (1)f在R2上有界；（2）f在R2上一致连续。证明：由于存在M0,使当r≥M时有 而当x2+y2≤M2,在此有界闭区域上,连续函数f有界，即 取W=max{|A|+1,K},则26第二十六页，共三十页。 （2）当在有界闭区域上函数f一致连续。再证f 在R上一致连续.27第二十七页，共三十页。 从而,f 在R上一致连续.28第二十八页，共三十页。 第6题：设f(x,y)在开集G?R2上对x连续，对y满足Lipschitz条件：证明： ?P0(x0,y0)?G，由于f对x连续，G是开集，从而存在U(P0,?)?G,从而f(x,y0)在x0连续，于是??0,??10,当|x-x0|?1时，有当|x-x0|?,|y-y0|?，且29第二十九页，共三十页。 (x,y) ∈G,必有(x,y0) ∈且30第三十页，共三十页。