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静电场Electrostatic field 研究问题：在给定自由电荷分布以及周围介质和导体分布情况下，求解场分布。 求解静电场方法：分离变量法，电像法，格林函数法，点多极展开等。 描述静电场的标量函数：电势。 求解依据：唯一性定理。 讨论问题，场由静电荷产生；电场不随时间变化。2.1 静电势及其微分方程Scalar potential and differential equation for electrostatic field2.1 静电势及其微分方程 一、静电场的标势 1、静电势 由 定义： ——静电场标势（简称电势） 说明：1 由静电场的无旋性引入电势； 2 电势选择不唯一； 3 取负号表示电场强度的方向是电势降 落的方向。梯度方向是电势增加最大方向。 4 满足迭加原理 2.1 静电势及其微分方程 2、电势差 表示电场力将单位正电荷从P1移到P2点所作功负值。 说明： 1 电场力作正功，电势下降，电场力作负功，电势上升。 2 两点电势差与作功的路径无关，场是保守立场。 3 空间某点电势没意义。电势参考点选择： 电荷分布在有限区域，将无限远作为电势参考点。2.1 静电势及其微分方程 3、有限区域分布电荷产生电势 点电荷： 点电荷系： 介质中电电荷：（无限大均匀线性介质 ） 连续分布电荷：2.1 静电势及其微分方程例题1：求均匀电场的电势分析：如图，可选空间任一点（有限区）为原点，并且该点 （或 ） 2.1 静电势及其微分方程二、静电势的微分方程和边值关系1、 满足的微分方程特例：在无自由电荷存在的空间，拉普拉斯方程：2、边值关系2.1 静电势及其微分方程 2、边值关系 用电势表示的边值关系： 说明：1 极限值是0，所以, 即：2.1 静电势及其微分方程2、边值关系 2 : 导体与介质分界面上的边值关系为 例、点电荷电势满足的微分方程。2.1 静电势及其微分方程三、静电场能量1、静电能 能量密度： （均匀各向同性线性介质 ） 总静电能：2、用 表示的静电能 ∵∴ 2.1 静电势及其微分方程 使用 应注意问题： 1 适用于静电场，线性介质； 2 适用于求总能量； 3 不能把 看成是电场能量密度，它只能表示能量与存在着电荷分布的空间有关。真实的静电能量是以密度 的形式在空间连续分布，场强大的地方能量也大； 4 中的 是由电荷分布 激发的电势； 5在静电场中，电场决定于电荷分布。在场内没有独立的运动。因而场的能量就由电荷分布所决定。 6 若全空间充满了介电常数为ε的介质，且得到电荷分布ρ所激发的电场总能量2.2 唯一性定理Uniqueness theorem2.2、唯一性定理静电学基本问题：求解满足边界条件的泊松方程。 即： 分界面上满足边值关系 本质：边值问题 边界上满足边界条件边值问题考虑： 解是否存在；解是否唯一；解是否稳定唯一性定理：说明在那些条件下，静电场的解唯一。本节解决问题： 1、要具备什么条件才能解静电问题； 2、所求的解是否唯一。2.2、唯一性定理一、边值问题 按边界条件分： 1、边界S上， 为已知 第一类边值问题 2、边界S上， 为已知 第二类边值问题或纽曼问题 3、部分边界S1上， 为已知，部分边界S2上 ， 为已知， 其中， 。 第一类边值问题 或混合问题 导体给定总电荷Q，相当 给定，（ ）S=S1+ S2 VS2.2、唯一性定理二、唯一性定理 问题：满足哪些边界条 件，静电场有唯 一解？ 把 区域V看成由许多均匀小区域Vi组成，每一个小区域内介电常数为 ，它是各向同性的。每一个区域给定电荷分布 已知： 1、在每个均匀区域中满足 ： 2、在分界面上2.2、唯一性定理唯一性定理 当区域V内分布 已知， 满足 ，在V边界上 已知，或 V边界上 已知，则区域V内场（静电场）唯一确定。证明：设有两组不同的解 和 满足唯一性定理的条件，只要求得 即可。令 在均匀区域Vi内有2.2、唯一性定理在两均匀区界面上有在整个区域V的边界S上有或者 为了处理边界问题，考虑第i个区域Vi的界面Si上的积分问题，根据格林定理, 对已知的任意两个连续2.2、唯一性定理函数 必有：令且 2.2、唯一性定理对所有区域求和得到进一步分析：在两个均