常微分方程课件.pptxVIP

§1.2基本概念一、常微分方程与偏微分方程 二、微分方程的阶 三、线性与非线性微分方程 四、微分方程的解 1. 显式解与隐式解 2. 通解与特解一、常微分方程与偏微分方程 定义1: 把联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的 关系式称为微分方程. 例1：下列关系式都是微分方程附注1：一个关系式要成为微分方程，要求该关系式中必须含有未知函数的导数或微分，但其中的自变量或未知函数可以不显含. 如果一个关系式中不显含未知函数的导数或微分，则这样的关系式就不能成为微分方程，例如 就不是微分方程. 实际上，我们在数学分析课程中已经知道，它是一个函数方程. 附注2：如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程，如上面例1中 就是常微分方程； 如果自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程，如上面例1中 就是偏微分方程. 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称为微分方程或方程. 二、微分方程的阶 定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数. 在上面例1中， 是一阶微分方程； 是一阶微分方程； 是二阶微分方程； 是四阶微分方程. 例如上面例1中 是线性微分方程， 而 是非线性微分方程. . 一阶微分方程的初等解法 §2.1变量分离方程与变量变换 §2.2 线性方程与常数变易法 §2.3 恰当方程与积分因子 §2.4 一阶隐方程与参数表示§2.1变量分离方程与变量变换一、变量分离方程 二、可化为变量分离方程的类型 一、变量分离方程先看例子：例：上面我们得到方程的通解含有常数C，是一族积分曲线二、可化为变量分离方程的类型（I）齐次方程 （II）形如 的方程， 其中 均为实常数 （I）齐次方程（II）形如 的方程，其中 均为实常数§2.2 线性方程与常数变易法§2.3 恰当方程与积分因子 一、恰当方程 二、积分因子 一、恰当方程二、 积分因子§2.4 一阶隐方程与参数表示 一、参数形式的解 二、可以解出 （或 ）的方程 三、就 、 与 都不能解出的方程 一、参数形式的解二、可以解出 （或 ）的方程1、 2、 1、2、 三、就 、 与 都不能解出的方程3、 4、 3、4、 一阶微分方程的解的存在性定理§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 §3.2 解的延拓 §3.3 解对初值的连续性和可微性定理 §3.4 奇解 §3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法§3.2 解的延拓习题：§3.3 解对初值的连续性和可微性定理一、解对初值的连续性 二、解对初值和参数的连续性 三、解对初值的可微性 一、解对初值的连续性二、解对初值和参数的连续性 三、解对初值的可微性 §3.4 奇 解 三、克莱罗(Clairaut)方程二、奇解 一、包络 一、包络定义1：对于给定的一个单参数曲线族： 其中为参数.若存在一条曲线满足下列条件:(1) (2)对任意的 存在唯一的使得且与有相同的切线.在则称为曲线族的一条包络线,简称为包络.单参数曲线族：例如，（其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半径等于R的一族圆. 如图R从图形可见,此曲线族有包络:y=R 和 y= -R .从图形可见, 此曲线族没有包络.(其中c为参数)表示一族同心圆. 如图例如: 单参数曲线族:但是,并不是每个曲线族都有包络.问题:对于给定的单参数曲线族: 其中为参数.如何判断它是否有包络?如果有包络, 如何求?根据定义, 假设该单参数曲线族有包络则对任意的存在唯一的使得于是得到对应关系:从而得到二元函数可用参数形式表示为:若记则于是,使得上. 由于现在在M点有相同的切线,任取一个固定点M, 则M在某一条曲线因为在M点的切线的斜率与与所以, 有分别为与从而由于在上不同的点也在不同的上,即因此任意一点M不仅要满足因此, 包络线而且还要满足定义2:把联立方程组:中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线称为曲线族的c-判别曲线设及其各一阶偏导数是定理1(包络的必要条件):(x,y,c)的连续函数,且有连续光滑的包络,则包络必位于的c-判别曲线中.注:的包络是c-判别曲线, 但c-判别曲线未必是包络.因此从c-判别曲线分解出来的一支或数支曲线是否为的包络,尚需按定义作进一步的验证.的包络.例1:则解:记消去参数c, 得于是和是两支c-判别曲线.经验证,和是的包络.求直线族:的包络.例2:这里是参数,是常数.解:记则消去参数得的c-判别曲线:经验证是曲线族的包络.如图:yxO求曲线族的包络.例3:记则解:消去参数c:由(2)得(3)代入(1),得化简得的两支c-判别曲线为:于是,代入(2), 得于是得到一支c-判别曲线将将代入(2), 得另一支c-判别曲线显