常微分方程课件.pptxVIP

二阶线性微分方程;本节只讨论二阶线性微分方程 ;例如;例如;2.二阶非齐次线性方程的解的结构:;解的叠加原理;的特解;二、降阶法与常数变易法;的一阶方程 ;2.非齐次线性方程通解求法------常数变易法;;积分可得;例;设原方程的通解为;补充内容;三、小结;练 习 题 ;练习题答案;一、定义;二、二阶常系数齐次线性方程解法;? 有两个不相等的实根;? 有两个相等的实根;? 有一对共轭复根;由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.;例1 ;例3;解;记;三、n阶常系数齐次线性方程解法;注意;例5;特征根为;四、小结;思考题;思考题解答;练 习 题;练习题答案;二阶常系数非齐次线性方程;一、 型;综上讨论;特别地;例1;求通解;分别是 ;由分解定理;注意;例4;所求非齐方程特解为;例5;例6 ;考虑辅助方程 ;例7;同理; 一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离钉子8米，另一端离钉子12米，若不计摩擦力，求此链条滑过钉子所需的时间;特征方程;三、小结;思考题;练 习 题;练习题答案;高阶微分方程 ;一、主要内容;;1、可降阶的高阶微分方程的解法; 型;（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:;3、二阶常系数齐次线性方程解法;特征方程为;推广： 阶常系数齐次线性方程解法;4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法;二、典型例题;例1;例2;原方程的一个特解为;;例3 ;例4 ;例5;;;例6;（２）　原方程为;测 验 题;测验题答案;欧 拉 方 程 ;作变量变换;用;将上式代入欧拉方程，则化为以 为自变量;原方程化为;特征方程的根为;二、小结;微分方程的幂级数解法;二、 特解求法;解;比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得;定理;作法;原方程的通解;;思考题;思考题解答;常系数线性微分 方程组的解法 ;步骤:;例1　解微分方程组;解之得通解;用;例2 解微分方程组;(３);易求一个特解;方程组通解为;三、小结;常微分方程 ; 常微分方程是现代数学的一个重要分支，内容十分丰富，作为一种有效的工具在电子科学、自动控制、人口理论、生物数学、工程技术以及其它自然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用;重点;基本要求;一、问题的提出;解;代入条件后知;二、微分方???的定义;分类1: 常微分方程, 偏常微分方程.;分类3: 线性与非线性微分方程.;三、主要问题-----求方程的解;(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.;初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.;解;所求特解为;四、小结;思考题解答;练 习 题;练习题答案;一阶方程的一般形式为;一阶方程有时也可以写成如下的对称形式; 但并不是所有的一阶方程都能象上面那样采取两边积分的方法来求它的通解;可以验证 ;解法;二、典型例题;解;解;例5;的通入量;三、小结;思考题;练 习 题;练习题答案;1.定义;例 1 求解微分方程;例 2 求解微分方程;微分方程的解为;例 3 抛物线的光学性质;;分离变量;平方化简得;解;二、可化为齐次型的方程;有唯一一组解.;可分离变量的微分方程.;解;方程变为;利用变量代换求微分方程的解;三、小结;思考题解答;练 习 题;练习题答案;一阶线性微分方程的标准形式:;一阶线性微分方程的解法;2. 线性非齐次方程;常数变易法;积分得;非齐次线性方程的通解;解方程;代入非齐方程;例3;例4 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .;所求曲线为;一阶线性微分方程的通解也可写成;二、伯努利方程;代入上式;例 5;例6 用适当的变量代换解下列微分方程:;解;解; 注;三、小结;思考题解答;练 习 题;练习题答案;1.定义:;2.解法:;例1;例2;二、积分因子法;1.公式法:;2.观察法:;可选用的积分因子有;可积组合法;例4 求微分方程;例5 求微分方程;例6;解2;C 不定积分法:;三、一阶微分方程小结;思考题解答;练 习 题;练习题答案;一阶微分方程 ;;1、五种标准类型的一阶微分方程的解法; 可化为齐次的方程;解法;解法　 需经过变量代换化为线性微分方程．;注意：; 可化为全微分方程;?公式法:;;三种基本类型;;;二、典型例题;例2;两边积分;原式变为;例4;(1) 利用原函数法求解:;(2) 利用分项组合法求解:;