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第二章 静电场 Electrostatic field;本章研究的主要问题是：在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，如何求解电场。 注意两点：①电荷静止，即： ②电场不随时间变化，即: 本章求解静电场的方法有：①分离变量法;②镜像法；③格林函数法。 求解的依据是：唯一性定理。 ; 本 章 主 要 内 容 静电场的标势及其微分方程 唯一性定理 拉普拉斯方程，分离变量法 镜象法 格林函数法 电多极矩; §2.1 静电场的标势及其微分方程 Scalar potential and differential equation for electrostatic field;1.静电场的标势和微分方程 静电现象满足以下两个条件：即 ①电荷静止不动；②场量不随时间变化。故;这两方程连同介质的电磁性质方程 是解决静电问题的基础。 根据电场方程 （即 的无旋性），可引入一个标势 。 在电磁学中，已知 因为相距为 两点的电势差为;又因为在均匀各向同性的介质中， 则有;此方程称为拉普拉斯方程（Laplace equation) 在各种不同条件下求解Poisson equation或Laplace equation是处理静电问题的基本途径。; 考虑到感应情况，诸问题的模拟是：;系的，即要找出电荷和电场相互作用规律的微分形式，而在导体表面或其他边界上场和电荷的相互作用关系则由边值关系和边界条件反映出来，称之为边值问题。 （1）在介质的分界面上，电场满足的边值关系为;由于 ，故 ，且; 注意： 可代替 ，即可代替;另外，由方程 可得到：;（2）在介质与导体的分界面上的情况 由于静电平衡条件，我们知道： 导体内部 ；导体表面上的场强与表面⊥，导体是等势体；导体内无电荷分布（ ），电荷只分布在导体的表面上（ ）。;即有;在静电情形下，能量W可以用电势 和电荷 表出。 由 得; 若我们考虑的是体系的总能量，则上式的体积分是对全空间进行的。因此上式右边第二项的面积分是对无穷大的面进行的。有限的电???体系在无穷远处的电势 ，电场 ，而面积~r2,故在r→∞时，面积分项的值=0，故有 ;（2）适用于求总能量（如果求某一部分能量时，面积分项 ）；;场强大的地方能量也大； （4） 中的 是由电荷分布 激发的电势； （5）在静电场中，电场决定于电荷分布。在场内没有独立的运动。因而场的能量就由电荷分布所决定。 （6）若全空间充满了介电常数为ε的介质，且得到电荷分布ρ所激发的电场总能量;4、举例讨论 [例1]求均匀电场 的电势。 Solution: 因为均匀电场中每一点强度 相同，其电力线为平行直线，选空间任一点为原点，并设原点的电势为 。; 这里有个参考点选择问题。 [例2]均匀带电的无限长直导线的电荷线密度的λ，求空间的电势。 Solution:; 选取柱坐标：源点的坐标为（0, z），场点的坐标为（R, 0），考虑到导线是无限长，电场强度显然与z无关。 这里，先求场强 ，后求电势 。; 由于 电荷元为 ，因此;且; 设p0点与导线的垂直距离为R0，则p点到p0点的电势差为;若选p0为参考点（即 ），则; §2.2 唯一性定理 Uniqueness theorem ; 本节内容将回答两个问题： （1）要具备什么条件才能求解静电问题 （2）所求的解是否唯一 ;电常数为 ，它是各向同性的。; ①在每个均匀区域中满足 ， 即有 ; 设区域V内给定自由电荷分布 在V的边界S上