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整式的乘除与因式分解
1、单项式的概念:由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项 式的数字因数叫做单项式的系数,字母指数和叫单项式的次数。
2a 2 bc 的 系数为 ,次数为 ,单独的一个非零数的次数是 。
2、多项式:几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项,次数最高项的次数叫多项式的 次数。
a 2 ? 2ab ? x ? 1,项有 ,二次项为 ,一次项为 ,常数项为 ,各
项次数分别为 ,系数分别为 ,叫 次 项式。
3、整式:单项式和多项式统称整式。注意:凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。
4、多项式按字母的升(降)幂排列:
x3 ? 2x 2 y 2 ? xy ? 2 y 3 ? 1
按 x 的升幂排列: 按 y 的升幂排列:
按 x 的降幂排列: 按 y 的降幂排列:
5、同底数幂的乘法法则: am an ? am? n ( m, n 都是正整数)
同底数幂相乘,底数不变,指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。
例 1.若2a?2 ? 64 ,则 a= ;若27 ? 3n
? (?3)8 ,则 n= .
例 2.若52 x?1 ? 125 ,则 (x ? 2) 2009 ? x 的值为 。例 3 .设 4x=8y-1,且 9y=27x-1,则 x-y 等于 。
6、幂的乘方法则: (am )n ? amn ( m, n 都是正整数)
幂的乘方,底数不变,指数相乘。如:(?35 )2
? 310
幂的乘方法则可以逆用:即amn ? (am ) n ? (an ) m
如: 46
? (42 )3
? (43 ) 2
7、积的乘方法则: (ab) n
( ? 2x 3 y 2 z)5 =
? anbn ( n 是正整数)积的乘方,等于各因数乘方的积。
8、同底数幂的除法法则: am
? an
? am? n ( a ? 0, m, n 都是正整数,且m ? n)
同底数幂相除,底数不变,指数相减。如:(ab) 4
9、零指数和负指数;
? (ab) ? (ab)3
? a 3b3
】
a 0 ? 1 ,即任何不等于零的数的零次方等于1。
1
a ? p
? ( a ? 0, p 是正整数),即一个不等于零的数的? p 次方等于这个数的 p 次方的倒数。
a p
如: 2?3
1 1
? ( 2 )3 ? 8
10、单项式的乘法法则:单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里
含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
注意:①积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再计算绝对值。
②相同字母相乘,运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。如: ? 2x 2 y 3 z ? 3xy ?
11、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加, 即m(a ? b ? c) ? ma ? mb ? mc ( m, a, b, c 都是单项式)
注意:①积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号。
③在混合运算时,要注意运算顺序,结果有同类项的要合并同类项。如: 2x(2x ? 3 y) ? 3 y(x ? y) =
*
12、多项式与多项式相乘的法则:
多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加。如: (3a ? 2b)(a ? 3b) ?
13、单项式的除法法则:单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有
的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。如: ? 7a 2 b 4 m ? 49a 2 b =
14、多项式除以单项式的法则: 多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所的的商相加。
即: (am ? bm ? cm) ? m ? am ? m ? bm ? m ? cm ? m ? a ? b ? c
1 1 1
例 1.(a- 6 b)(2a+ 3 b)(3a2+ 12 b2); 例 2.[(a-b)(a+b)]2÷(a2-2ab+b2)-2ab.
`
例 3.已知 x2+x-1=0,求 x3+2x2+3 的值.
^
15、平方差公式: (a ? b)(a ? b) ? a 2
如: (x ? y ? z)(x ? y ? z) =
b 2 注意平方差公式展开只有两项
16、完全平方公式: (a ? b) 2
? a 2
? 2ab ? b 2
a 2 ? b 2
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