九年级数学培优讲义与测试.docx

第 一 讲 一 次 函 数 和 反 比 例 函 数 知识点、重点、难点 函数 y ? kx ? b(k ? 0) 称为一次函数，其函数图像是一条直线。若 b ? 0 时，则称函数 y ? kx 为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。 当k ? 0 时，函数 y ? kx ? b 是单调递增函数，即函数值 y 随 x 增大（减小）而增大 （减小）；当 k ? 0 ， y ? kx ? b 是递减函数，即函数值 y 随 x 增大（减小）而减小（增大）。 函数 y ? k (k ? 0) 称为反比例函数，其函数图像是双曲线。 x 当k ? 0 且 x ? 0 时，函数值 y 随 x 增大（减小）而减小（增大）；当k ? 0 且 x ? 0 ， 函数值 y 随 x 增大（减小）而减小（增大），也就是说：当k ? 0 时，反比例函数 y ? k x 分别在第一或第三象限内是单调递减函数；当 k ? 0 时，函数 y ? 象限内是单调递增函数。 k 分别在第二或第四 x 若 y ? k x ? b (k ? 0), y ? k x ? b (k ? 0). 1 1 1 2 2 2 当k ? k 1 2 当k ? k 1 2 时， b 1 时， b 1 ? b 时，两面直线平行。 2 ? b 时，两面直线重合。 2 当k ? k 时，两直线相交。 1 2 当k k ? ?1时，两直线互相垂直。 1 2 求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次， 在解题过程中要重视数形相结合。例题精讲 例 1：在直角坐标平面上有点 A(?1,?2) 、B(4, 2) 、C(1,c) ，求c 为何值时 AC ? BC 取最小值。 解 显然，当点C 在线段 AB 内时， AC ? BC 最短。 设直线 AB 方程为 y ? kx ? b ，代入 A(?1,?2) 、 B(4, 2) ?k ? 4 得??k ? b ? ?2 解得? 5 ?4k ? b ? 2, ??6 ? ?b ? ? , ?? 5 所以线段 AB 为 y ? 4 x ? 6 (?1 ? x ? 4), 5 5 代入C(1,c) ，得c ? 4 ?1? 6 ? ? 2 . 5 5 5 例 2：求证：一次函数 y ? 个定点。 2k ?1 k ?10 x ? 的图像对一切有意义的k 恒过一定点，并求这 k ? 2 k ? 2 解 由一次函数得(k ? 2) y ? (2k ?1)x ? (k ?10), 整理得 (2 x ? y ?1)k ? x ? 2 y ?10 ? 0 。因为等式对一切有意义的k 成立，所以得 ??2x ? y ?1 ? 0 ? ?x ? 12 解得? 5  当 x ? 12 ， y ? 19 时，一次函数解析式变为恒等式，所以 x ? 2 y ?10 ? 0, ? 19 5 5 ? ? y ? , ?? 5 ??函数图像过定点? 12 , 19 ? . ? ? ? 5 5 ? 例 3：已知m 、n 、c 为常数， m2 ? n2 ? 0 ，并且mf (x ?1) ? nf (1? x) ? cx, 求 f (x) 。 解 用1? x 代换原方程中的 x ，得mf (x ?1) ? nf (x) ? c(1? x). ○1 用 x ?1代换原方程中的 x ，得mf (x) ? nf (?x) ? c(x ?1). ○2 m ? ○2 ?n ? ○1 得 m2 f (x) ? n2 f (x) ? mcx ? ncx ? mc ? nc. 因 为 m2 ? n2 ? 0 ， 所 以 f (x) ? c ???m ? n?x ? m ? n??  ，所以 f (x) ? c x ? c . m2 ? n2 m ? n m ? n 例 4:如图，设 f (x) ? mx ? 1 (1? x) ? ? m ? 1 ? x ? 1 , 因为当m ? 1时， m ? 1 mm ? ? m m? m m ? ? m m ? 0, f (x) 为 ?递增函数， f (x) 在?0,1?上的最小值为 f (1)? ? m ? ? 所以因此 所以 因此 g(m) ? 1 在?1, ???上为递减函 m 为递增函数，故 g (m) 的最大值为 数； g(m) ? m 在?0,1? 上 g (1)? 1. 例 5：画函数 y ? x2 ? 4 2 ? x 的图像。 1 ?.1? m ?? m ? 1 ? m. m x解 ? 0 ， x ? 0 ， x2 ? 4 ? 0 ， x ? ?2, 将整个数轴分为四段讨论（见图）并定 x 义域为 x 义域为 x ? ?2 的一切实数。 例 6：一次函数 y ? kx ?