两圆方程作差所得方程对应的直线与两圆的位置关系.docx

两圆方程作差所得方程对应的直线与两圆的位置关系 简介：对于两个非同心圆的一般方程，若把它们作差，消去二次项后会得到一个二元一次方程，即得到一条直线的方程。所得直线l 在 两圆的 5 种位置关系下的几何意义以及l 已知两圆C 、C 1 2 的位置关系如 何？笔者针对以上问题探讨如下： 一、预备知识：圆幂定理: 二、预备知识：定义点到圆的幂与两圆的根轴三、定理：根轴与两圆连心线垂直 四、两圆相交根轴的几何意义就是公共弦所在直线 五、两圆相切（内切或外切）根轴的几何意义就是公切线六、两圆相离根轴的几何意义与位置 七、两圆内含根轴的几何意义与位置八、结论： 正文 对于两个非同心圆的一般方程，若把它们作差，消去二次项后会得到一个二元一次方程， 即 得 到 一 条 直 线 的 方 程 。 设 两 圆 C 1 : x 2 ? y 2 ? D x ? E 1 1 y ? F 1 ? 0 ， : x 2 ? y 2 ? D 2 2 x ? E 2 y ? F 2 ? 0 ，把这两个圆的方程作差，消去二次项后，得到的一条直 线方程为l : (D 1 D )x ? (E 2 1 E ) y ? (F 2 1 F ) ? 0 。现在我想探讨的问题是：所得直线l 在 2 两圆的 5 种位置关系下的几何意义以及l 已知两圆C 、C 1 2 题探讨如下： 一、预备知识：圆幂定理: 的位置关系如何？笔者针对以上问 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 割线定理： 从圆外一点 P 引两条割线与圆分别交于 A、B；C、D，则有 PA·PB=PC·PD。 统一归纳为圆幂定理：过任意不在圆上的一点 P 引两条直线 L1、L2，L1 与圆交于 A、B （可重合，即切线）， L2 与圆交于 C、D（可重合），则有 PA·PB=PC·PD。 4．圆幂定理推论：设圆半径为r，圆心为O， 若 P 在圆外，则 PA PB ? PC PD ? ?PO ? r ??PO ? r ?? PO 2 ? r 2 ? PO 2 ? r 2 ? ?切线长?2 ； 若 P 在圆内， PA PB ? PC PD ? ?r ? PO ??r ? PO ?? r 2 ? PO 2 ? PO 2 ? r 2 。 （事实上所有的过P 点与圆相交的直线都满足这个值） 二、预备知识：定义点到圆的幂与两圆的根轴 1．定义点到圆的幂：平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。这个值称为点P 到圆O 的幂。（若P 在圆外，这个值就是切线长的平方） 2．定义两圆的根轴：两个非同心圆相减 (x 2 ? y 2 ? D 2 x ? E 2 y ? F 2 ) ? (x 2 ? y 2 ? D 1 x ? E 1 y ? F ) ? 0 1 总是得到一条直线l ： ?D 1 D ?x ? ?E 2 1 ? E ?y ? F ? F ? 0 2 1 2 因(x 2 y 2 D x ? E 2 2 y ? F 2 ) ? (x 2 y 2 D x ? E 1 1 y ? F ) ? 0 ? 1 ??(x ? a )2 ? ( y ? b )2 ? r 2 ?? ? ??(x ? a )2 ? ( y ? b )2 ? r 2 ?? ? 0 ? 2 2 2 1 1 1 ??PO ?2 ? r 2 ? ? ??PO ?2 ? r 2 ? ? 0 ? ?PO ?2 ? r 2 ? ?PO ?2 ? r 2 ? 2 2 ? ? 1 1 ?  2 2 1 1 由此可知：直线l 是到两圆幂相等的点的集合。 两圆的根轴定义：两圆方程相减所得的方程对应的直线叫两圆的根轴，即到两圆幂相等的点的集合。（不相交时，就是两圆切线长相等的点的集合） 三、定理：根轴与两圆连心线垂直 圆C 的圆心坐标是(? 1 ,? E 1 ) ，圆C 的圆心坐标是(? 2 ,? 2 ) 。1。当 D ? D 时，两 DD E1 2 2 2 D D E 2 2 1 2 圆非同心，则 E 1 ? E 得过两圆心的直线的斜率不存在，而直线 l 的斜率为零，故直线 l 与过 2 两圆心的直线垂直；2。当 E 1 ? E 时，两圆非同心，则 D 2 1 ? D 得过两圆心的直线的斜率为零， 2 而直线l 的斜率不存在，故直线l 与过两圆心的直线垂直；3。当 D 1 ? D 且 E 2 1 ? E 时，得过 2 E ? E D ? D