随机过程及其在金融中的应用-习题答案.docxVIP

1 《随机过程及其在金融中的应用》参考答案 Solution Manual on Stochastic Process and Its Application in Finance 方杰 2022年10月25日 2 目录 1 第 一 章 预 备 知 识 2 第二章离散时间马氏链 3 第三章可数状态马氏链 4 第四章 泊松过程 5 第五章连续时间马氏链 6 第六章布朗运动 7 第七章 鞅 8 第八章随机积分概论 9 第九章随机微分方程概论 10 第十章金融市场数学基础 11 第十一章连续时间下的期权定价 12 第十二章期权定价的离散模型 4 4 h 00 47 20 6.4 10 a4 88 92 97 3 1 第 一 章 预 备 知 识 1. 设随机变量X服从几何分布，即P(X=k)=p(1-p)*-1,k=1,2, … 求随机变量X的期望和方差。 解答： 对上式中的 关于p求积分，可得： 然后对上式关于p求微分，可得： 因此： 接下来计算二阶矩如下： 根据前面的结果，我们可知： 对于前面EX2表达式的 关于p进行两次积分，可得： 然后对上式关于p进行两次微分，可得： 因此： 从而： 4 2.设随机变量X的概率分布函数为： 0, 求 ： A 和 B X≥ 0 X0 解答：根据概率分布函数的含义，我们可知： 解答：根据概率分布函数的含义，我们可知： Fx(0)= 0, Fx(o)=1 因此，我们可以得到如下方程组： A+B=0 A=1 A+0=1 B=- 1 3.设随机变量X的概率密度函数为； 试求：系数A的取值. 解答：由于 解答：由于 因此： 从而：A=1 . 4.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为： 求： A 的值； P(X1,Y2) 解答：由于 5 =(1 - =(1 - e-2)(1-e- 1) 因此： 从而：A=1 . 5.设随机变量X服从参数为λ和α的Gamma分布，即概率密度函数为： x0 求随机变量X的期望、方差和矩母函数。 解答： 由于 因此： 相应地： 因此： dx 6 2 第 二 章 离 散 时 间 马 氏 链 1.重复地抛掷一枚均匀的硬币，抛掷结果为Yo,Y,Yz,….,它们取值为0或1的概率均为1/2,用Xn= Yn+Yn-1(n≥1)表示第(n-1)次和第n次抛掷出的结果中1的个数。Xn是一个马氏链吗? 解答：举 解答：举 一 个反例，若X=Y+Y。=2,X?=Yz+Y=1,这意味着Y。=Y=1,Yz=0,因此： P(X?=Y?+Y?=2|X?=1,X?=2)=OP(X?=2|X?=1)=0.5 由此可见：P(X?=2 |X?=1,X=2Y=P(X?=2 |Xz=1),说明Xn不是马氏链。 2.小王家每天早晨都会收到报纸并且看完之后将它们堆放起来。每天下午，有人把所有堆起来的报纸拿走放 到回收箱的概率为1/3。另外，如果堆起来的报纸至少有5张的话，小王将会以概率1把报纸放到回收 箱中，考虑晚上堆起来的报纸数。 求相应的状态空间和转移概率矩阵。 解答：状态空间S 解答：状态空间S ={0,1,2,3,4},相应的转移矩阵如下： 1/32/3 0 0 0 1/30 2/3 0 0 1/3 0 0 2/3 0 1/3 0 0 0 2/3 1 0 0 0 0 3.五个白球和五个黑球分散在两个罐子中，其中每个罐子中都有五个球。每一次我们各从两个罐子中随机抽 取一个球并交换它们。用Xn表示在时刻n左边罐子中白球的个数。 求Xn的转移概率及对应的转移概率矩阵。 解答：假设左边罐子中原有白球x个，黑球(5-x)个；相应地，右边罐子中原有黑球x个，白球 解答：假设左边罐子中原有白球x个，黑球(5-x)个；相应地，右边罐子中原有黑球x个，白球 (5 - x)个. 1.若左边罐子取白球(黑球),右边罐子也取白球(黑球),则左边罐子中白球仍为x个； 2.若左边罐子取白球，右边罐子取黑球，则左边罐子中白球为(x- 1)个； 3.若左边罐子取黑球，右边罐子取白球，则左边罐子中白球为(x+1)个； 由此可得：当1≤x≤4时， 7 当Xn 当Xn=0时，Xn+i的取 需要注意的是：若左边罐子中原有白球五个，则下一时刻，其白球数量必为4个；类似地，若原有白 球0个，则下一时刻白球数量必为1个.即： p(0,1)=1, p(5,4)=1 因此，可得最终的转移概率矩阵如下： 0 1 0 0 0 0 1/258/2516/25 0 0 0 0 4/2512/259/25