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6.1 平方根、立方根
了解平方根、算术平方根、立方根的定义和性质,会用根号表示非负数的平方根、算术平方根、立方根.
能利用平方根、算术平方根、立方根的定义和性质解题.
知道开方是乘方的逆运算,会用开方求某些非负数的平方根.
能运用算术平方根解决一些简单的实际问题.
平方根
平方根的概念:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做 a 的平方根, 也叫做二次方根.换句话说,如果x2=a,那么x 叫做a 的平方根,例如22=4,(-2)2=4,则 4 的平方根是+2 和-2(也可合写为±2),+2 和-2 都是 4 的平方根.
平方根的性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0 的平方根是 0;负数没有平方根.
平方根的表示:正数a 有两个平方根,一个是a 的正的平方根,记作“ a”,读作“根号a”,另一个是a 的负的平方根,记作“- a”,读作“负根号a”,这两个平方根合起来可记作“± a”,读作“正、负根号a”,其中a 叫做被开方数.
【例 1-1】求下列各数的平方根:
?- ?25236 ? 3? (1)0.64;(2) ;(3)? ?2.
?- ?
25
2
分析:要求一个数的平方根,我们可以根据平方根的概念,首先找到一个数,使它的平方等于已知的数,然后就可以求出这个数的平方根.
解:(1)∵(±0.8)2=0.64,∴0.64 的平方根是±0.8.
? 6? 36 36 6
(2)∵??± ??2= ,∴ 的平方根是± .
5 25 25 5
? 3? ? 3?
(3)∵??± ??2=??- ??2,
2 2
? 3? 3
∴??- ??2 的平方根是± .
2 2
求一个数的平方根,必须牢记正数有两个平方根,它们互为相反数,不会因
2? 3?
2
为表达形式的改变而改变,如??- ??2 是个正数,那么它有两个平方根,不要错误地认为它的
3
平方根仅有- .
2
【例 1-2】下列各数有平方根吗?如果有,求出它的平方根;若没有,请说明理由. 25
(1) ;(2)0;(3)-4;(4)-0.49;(5)(-3)2.
16
分析:
数的序号
数的序号
(1)
(5)
(3)
(4)
(2)
存在情况
有 2 个
有 2 个无 无
有 1 个
原因
因为是正数,所以有两个平方根
因为是负数,所以没有平方根
0 的平方根是它本身
25 25
解:(1)因为 是正数,所以 有两个平方根.
16 16
于??± ??
于??± ??2= ,所以 的平方根是±
416由
4
16
25 5
16 4.
16 4
0 只有一个平方根,是它本身.
因为-4 是负数,所以-4 没有平方根.
因为-0.49 是负数,所以-0.49 没有平方根.
因为(-3)2=9,所以(-3)2 为正数,有两个平方根.由于 9 的平方根是±3,所以(-
3)2 的平方根是±3.
算术平方根的概念
正数 a 的正的平方根 a叫做 a 的算术平方根.0 的算术平方根是 0.因此如果 x2=a,那么正数x 叫做a 的算术平方根.
平方根与算术平方根的区别与联系
区别:①表示方法不同:正数a 的平方根表示为± a;正数a 的算术平方根表示为
a
a.
②个数不同:一个正数的平方根有两个,它们互为相反数;一个正数的算术平方根只有一个.
③性质不同:一个正数的平方根有两个,可以是负数;一个非负数的算术平方根一定是 非负数.平方根等于本身的数只有一个数,这个数是0;算术平方根等于本身的数有两个: 0 和 1.
联系:平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根的一个;平方根和算术平方根都只有非负数才有.负数没有平方根和算术平方根;0 的平方根和算术平方根都是 0.
【例 2】求下列各数的算术平方根:
7
(1)196;(2)1 ;(3) 16.
9
分析:根据算术平方根的定义,求正数a 的算术平方根,也就是求一个非负数x,使x2
=a,则x 就是a 的算术平方根.
(1)因为 142=196,所以 196 的算术平方根是 14.
9 939 9 3 9 37 16 ?4?
9 9
3
9 9 3 9 3
因为 1 = ,?? ??2= ,所以 的算术平方根是 ,即 1 的算术平方根是 .
因为要求的是 16的算术平方根,所以要先算出 16,再求算术平方根. 16表示的是 16 的算术平方根,所以 16=4.由于22=4,所以4 的算术平方根是 2,即 16的算术平方根是 2.
解 :(1) 196=14.
7 16 4
(2) 1 = = .
9 9 3
(3)因为 16=4,4 的算术平方根是 2,所以 16的算术平方根是 2.
求正数 a 的算术平方根,只需找出平方等于 a 的正数.求一个分数的算术平方根或平方根,当这个分数是带分数时,要先
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