七年级数学(沪科版)下册精品导学案6.1平方根、立方根.docx

6.1 平方根、立方根 了解平方根、算术平方根、立方根的定义和性质，会用根号表示非负数的平方根、算术平方根、立方根． 能利用平方根、算术平方根、立方根的定义和性质解题． 知道开方是乘方的逆运算，会用开方求某些非负数的平方根． 能运用算术平方根解决一些简单的实际问题． 平方根 平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做 a 的平方根， 也叫做二次方根．换句话说，如果x2＝a，那么x 叫做a 的平方根，例如22＝4，(－2)2＝4，则 4 的平方根是＋2 和－2(也可合写为±2)，＋2 和－2 都是 4 的平方根． 平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根． 平方根的表示：正数a 有两个平方根，一个是a 的正的平方根，记作“ a”，读作“根号a”，另一个是a 的负的平方根，记作“－ a”，读作“负根号a”，这两个平方根合起来可记作“± a”，读作“正、负根号a”，其中a 叫做被开方数． 【例 1－1】求下列各数的平方根： ?－ ?25236 ? 3? (1)0.64；(2) ；(3)? ?2． ?－ ? 25 2 分析：要求一个数的平方根，我们可以根据平方根的概念，首先找到一个数，使它的平方等于已知的数，然后就可以求出这个数的平方根． 解：(1)∵(±0.8)2＝0.64，∴0.64 的平方根是±0.8． ? 6? 36 36 6 (2)∵??± ??2＝ ，∴ 的平方根是± . 5 25 25 5 ? 3? ? 3? (3)∵??± ??2＝??－ ??2， 2 2 ? 3? 3 ∴??－ ??2 的平方根是± . 2 2 求一个数的平方根，必须牢记正数有两个平方根，它们互为相反数，不会因 2? 3? 2 为表达形式的改变而改变，如??－ ??2 是个正数，那么它有两个平方根，不要错误地认为它的 3 平方根仅有－ . 2 【例 1－2】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由． 25 (1) ；(2)0；(3)－4；(4)－0.49；(5)(－3)2． 16 分析： 数的序号 数的序号 (1) (5) (3) (4) (2) 存在情况 有 2 个 有 2 个无 无 有 1 个 原因 因为是正数，所以有两个平方根 因为是负数，所以没有平方根 0 的平方根是它本身 25 25 解：(1)因为 是正数，所以 有两个平方根． 16 16 于??± ?? 于??± ??2＝ ，所以 的平方根是± 416由 4 16 25 5 16 4. 16 4 0 只有一个平方根，是它本身． 因为－4 是负数，所以－4 没有平方根． 因为－0.49 是负数，所以－0.49 没有平方根． 因为(－3)2＝9，所以(－3)2 为正数，有两个平方根．由于 9 的平方根是±3，所以(－ 3)2 的平方根是±3． 算术平方根的概念 正数 a 的正的平方根 a叫做 a 的算术平方根.0 的算术平方根是 0.因此如果 x2＝a，那么正数x 叫做a 的算术平方根． 平方根与算术平方根的区别与联系 区别：①表示方法不同：正数a 的平方根表示为± a；正数a 的算术平方根表示为 a a. ②个数不同：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；一个正数的算术平方根只有一个． ③性质不同：一个正数的平方根有两个，可以是负数；一个非负数的算术平方根一定是 非负数．平方根等于本身的数只有一个数，这个数是0；算术平方根等于本身的数有两个： 0 和 1． 联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一个；平方根和算术平方根都只有非负数才有．负数没有平方根和算术平方根；0 的平方根和算术平方根都是 0. 【例 2】求下列各数的算术平方根： 7 (1)196；(2)1 ；(3) 16. 9 分析：根据算术平方根的定义，求正数a 的算术平方根，也就是求一个非负数x，使x2 ＝a，则x 就是a 的算术平方根． (1)因为 142＝196，所以 196 的算术平方根是 14． 9 939 9 3 9 37 16 ?4? 9 9 3 9 9 3 9 3 因为 1 ＝ ，?? ??2＝ ，所以 的算术平方根是 ，即 1 的算术平方根是 . 因为要求的是 16的算术平方根，所以要先算出 16，再求算术平方根. 16表示的是 16 的算术平方根，所以 16＝4．由于22＝4，所以4 的算术平方根是 2，即 16的算术平方根是 2． 解 ：(1) 196＝14． 7 16 4 (2) 1 ＝ ＝ . 9 9 3 (3)因为 16＝4,4 的算术平方根是 2，所以 16的算术平方根是 2． 求正数 a 的算术平方根，只需找出平方等于 a 的正数．求一个分数的算术平方根或平方根，当这个分数是带分数时，要先