荆楚理工学院《线性代数》课件-第4章线性方程组的理论.ppt

第四章 线性方程组的理论;复习第二章 第三节 克拉默;在第一章用消元法讨论线性方程组;定理1线性方程组(1)有解的充;其中那么，相应的矩阵的行初等变;因为都是阶梯型矩阵，所以可以看;而初等变换不改变矩阵的秩，所以;例1 解齐次线性方程组解 ;原方程的同解方程组为取 ;令 ;例 2 设有线性方程组（1）;解 因为方程的个数与未知量的个;故由克拉默法则知，当 ，;所以方程组无解．;当 时， 所以方程;当 时， 所以方程组;取 为自由未知量，得原方;例3 设有线性方程组解;无标题;其通解为;这时又分两种情形：;无标题;定理3 矩阵方程 ;例4 求解齐次线性方程组解;即得与原方程组同解的方程组;由此即得;例5 求解非齐次线性方程组;例6 求解非齐次方程组的通;故方程组有解，且有;所以方程组的通解为;例7 解证对增广矩阵B进行初;无标题;由于原方程组等价于方程组由此得;第二节 n 维向量及其线;代数：把向量表示中的花括弧换成;定义1 称 矩阵 为;说明：若不加特别说明，所涉及的;向量相等：若 维向量与零向;则向量叫作向量 与 的和，;数 与向量 的乘积，记作 ;（4）（5）（6）（7）（8）;第二天为则两天各产品的产量和为;第三节 向量组的线性相关;一一对应方程组也可写成向量形式;定义1 对于给定的一组 ;给定向量组 ： ;定理1 向量 能由向量;证明;无标题;故向量 能由向量组 ;取 ，;是系数矩阵 的 个 维列向;定义2 设有 维向量组 ;换言之：1、线性相关,也就是说;例2 对 维单位;解 设 即于是必有 即只有;当 时，即向量组只含;定理2 向量组 ;定理3 设向量组 ： ;无标题;无标题;推论1 当向量的个数等于向;定理4而向量组 ： ;则向量组反之，若 ;同时去掉其第 个分量（ ;例3 判别下列向量组的线;解（2）因为故 线性;第四节 向量组的秩一、向量组;设向量组 能由向量组 线性;从而其中 ;矩阵方程 有解;定理1 设向量组均为列向;推论 向量组 ;证明 记 ;容易看出矩阵B中有不等于0 的;中能选出 个向量 ;例如，向量组 线性无关，线性无;向量组 线性表示，则定??2 ;推论1 两个线性无关的向量;是 的一个最大无关组，;则向量组 的秩不大于向量组 ;三、矩阵的秩与向量组的秩的关系;例3 设有向量组 ： （;用初等行变换将矩阵 化为;无标题;于是的列秩故，向量组 的;所以故 ;构成 的列向量组的最大线;即而对矩阵的初等行变换并不改变;性质1 性质2设 是 ;则 也是 ;则称 ;矩阵 的秩 ;此时方程组的基础解系由 ;例1 求齐次线性方程组 的一;无标题;便得同解方程组其中为任意常数.;则对应地有及从而得基础解系;故原方程的通解为 另外，由同解;则得 及即可得不同的基础解系;从而得通解 其中 ;非齐次线性方程组解的结构 对于;则 ;无标题;无标题;无标题;例3 设 ;解 因为 ;是 ;本章小结：重点：1、掌握向量组;定义1第六节 向量空间设V;例2 记所有n 维向量的集;定义2 设V 为空间向量，;定义3 如果在向量空间第四章 线性方程组的理论;复习第二章 第三节 克拉默;在第一章用消元法讨论线性方程组;定理1线性方程组(1)有解的充;其中那么，相应的矩阵的行初等变;因为都是阶梯型矩阵，所以可以看;而初等变换不改变矩阵的秩，所以;例1 解齐次线性方程组解 ;原方程的同解方程组为取 ;令 ;例 2 设有线性方程组（1）;解 因为方程的个数与未知量的个;故由克拉默法则知，当 ，;所以方程组无解．;当 时， 所以方程;当 时， 所以方程组;取 为自由未知量，得原方;例3 设有线性方程组解;无标题;其通解为;这时又分两种情形：;无标题;定理3 矩阵方程 ;例4 求解齐次线性方程组解;即得与原方程组同解的方程组;由此即得;例5 求解非齐次线性方程组;例6 求解非