复变函数论第三版钟玉泉第三章.pptxVIP

第三章 复变函数的积分第一节 复积分的概念极其简单性质一、积分的定义1.有向曲线: 设C为平面上给定的一条光滑(或分段光滑)曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把C理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,第一页，共六十六页。 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时, 邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向.分段光滑的简单闭曲线简称为周线.第二页，共六十六页。(2.积分的定义:第三页，共六十六页。二、积分存在的条件及其计算方法1. 存在的条件证,正方向为参数增加的方向,根据线积分的存在定理,第四页，共六十六页。当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, 公式在形式上可以看成是第五页，共六十六页。2. 积分的计算方法即在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.第六页，共六十六页。例1解直线方程为这两个积分都与路线C 无关例2 解积分路径的参数方程为第七页，共六十六页。例3解积分路径的参数方程为一个重要而常用的积分公式重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.第八页，共六十六页。三、复积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.绝对不等式第九页，共六十六页。例4解根据估值不等式知第十页，共六十六页。第二节 柯西积分定理一、问题的提出此时积分与路线无关. 由于不满足柯西－黎曼方程, 故而在复平面内处处不解析. 由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.第十一页，共六十六页。二、柯西积分定理定理中的 C 可以不是简单曲线.关于定理的说明:(1) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, (2) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, 定理仍成立.第十二页，共六十六页。三、典型例题例1根据柯西积分定理, 有解例2证由柯西积分定理, 由柯西积分定理, 由上节例4可知, 第十三页，共六十六页。例3解根据柯西积分定理得第十四页，共六十六页。应用柯西积分定理应注意什么?(1) 注意定理的条件“单连通域”.(2) 注意定理的不能反过来用.第十五页，共六十六页。︵︵四、柯西积分定理的推广—复合闭路定理1.问题的提出根据本章第一节的讨论可知, 由此希望将柯西积分定理推广到多连域中.2.闭路变形原理第十六页，共六十六页。︵︵︵︵︵︵︵︵得第十七页，共六十六页。说明: 在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点. 解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理第十八页，共六十六页。3. 复合闭路定理那末第十九页，共六十六页。4.典型例题例1解依题意知, 根据复合闭路定理,第二十页，共六十六页。例2 解圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,第二十一页，共六十六页。例3解由复合闭路定理,此结论非常重要,用起来很方便,因为 不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线 内即可.第二十二页，共六十六页。例4解由上例可知 复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它是本章的难点.常用结论:第二十三页，共六十六页。五、原函数与不定积分1. 两个主要定理:定理一由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,第二十四页，共六十六页。定理二利用导数的定义来证.证由于积分与路线无关,第二十五页，共六十六页。由积分的估值性质,[证毕]此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.第二十六页，共六十六页。2. 原函数的定义:原函数之间的关系:3. 不定积分的定义:定理三(类似于牛顿-莱布尼兹公式)第二十七页，共六十六页。证根据柯西积分定理,[证毕]说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.例14.典型例题解由牛顿-莱布尼兹公式知,第二十八页，共六十六页。例2(使用了微积分学中的“凑微分”法)解例3解由牛顿-莱布尼兹公式知,另解此方法使用了微积分中“分部积分法”第二十九页，共六十六页。例4利用分部积分法可得解课堂练习答案例5解第三十页，共六十六页。例6解由牛顿-莱布尼兹公式知,所以积分与路线无关,第三十一页，共六十六页。第三节 柯西积分公式及其推论一、问题的提出根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变,求这个值。第三十二页，共六十六页。二、柯西积分公式定理此式称为柯西积分公式证第三十三页，共六十六页。证根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关,[证毕]所以只有在对所有的 R