第二章多元正态分布演示文稿.pptVIP

* 综上，可以对一元与多元在概率分布、数字特征等方面进行简单的对比学习，这样容易清楚二者的区别与联系。 请仔细阅读指导书上的第一部分内容中的两张对比的比较表． 第三十一页，共七十页。 * 　　　一个简单对比 一元分布情形 多元分布情形 概率分布 名称 随机变量 p元随机向量 分布名称 概率分布 联合概率分布 数字特征 期望 均值是数μ 均值向量是向量 方差 方差是一个非负数σ2 协方差矩阵Σ 第三十二页，共七十页。 * 多元正态分布在多元统计分析中的重要地位，就如同一元统计分析中一元正态分布所占重要地位一样，多元统计分析中的许多重要理论和方法都是直接或间接建立在正态分布的基础上。 原因是: (1)许多实际问题研究中的随机向量确实遵从正态分布，或者近似遵从正态分布； (2)对于多元正态分布，已经有一套统计推断方法，并且得到了许多完整的结果。 多元正态分布是最常用的一种多元概率分布，下一节就是多元正态分布的定义。 第三十三页，共七十页。 * §2.3 多元正态分布定义及基本性质 在多元分布中，最常见也是最重要的分布就是正 态分布。 定义：若 p 维随机向量 的联合概率密度为 其中，x和μ都是p维向量，Σ是p阶正定阵，则称 随机向量 服从p元正态分布， 或称p维正态随机向量，简记为X～N p（μ，Σ） 第三十四页，共七十页。 * 具体而言, 其中的 的具体形式为 而符号 表示该随机向量的协方差矩阵的行列式，它是个非负数值。由此说明Σ是非负定的。 第三十五页，共七十页。 * 多元正态分布的性质 显然，当p=1时，就是一元正态分布的密度函数；当p=2时，即为二元正态分布。 可以证明： （1）μ恰好是X的均值向量； （2）Σ恰好是X的协方差矩阵。 第三十六页，共七十页。 * P元正态分布的性质： （1）若 ～N p（μ，Σ） 则任一分量的边沿(边缘)分布也一定是正态分布。 并且，当协差阵Σ是对角形矩阵时， 则分量 是相互独立的。 （2）正态随机向量的线性组合仍然服从正态分布（详见教材P20）. 第三十七页，共七十页。 * 在研究社会、经济现象和许多实际问题时，经常遇到多指标的问题。 例如，评价学生在校表现时，要考察他的政治思想（德）、学习情况（智）、身体状况（体）等各个方面的情况，仅学习情况就又涉及他在各个年度的每门课程成绩，这里面就有多项指标存在。 §2.4　多元统计中的基本概念 第三十八页，共七十页。 * 再例如，研究公司的经营情况，就要考察资金周转能力、偿债能力、获利能力、竞争力等多个指标。显然不能将这些指标分割开来进行单独研究，那样就不能从整体上综合把握事物的实质。 一般地，假设我们研究的问题涉及p个指标，对n个个体进行观察，就会得到n×p个数据，我们的目的就是对观测对象进行分组、分类、或分析考察这p个变量之间的相互关联程度，或者找出内在规律性等等。 第三十九页，共七十页。 * 1.多元样本的概念及其表示法 我们要研究的对象是多个变量的总体，即研究总体的概率分布，特别是关注其数字特征是什么？ 采用的研究方法是统计推断方法。 通过从总体中随机抽取一个样本的手段，然后对样本的概率分布（即抽样分布）进行研究，来推断（inference）未知分布的总体的概率分布。 第四十页，共七十页。 * 观测数据的表示 因而所得到的数据是，同时对某n个个体观测了p项指标（或变量）后得到的n×p个数据。我们将这p个指标共同表示为 常用向量 表示对同一个体观测到的p个指标。 第四十一页，共七十页。 * 例如，要考察张三的学习情况，就需要观测他的英语、高数、计算机、专业课成绩等多个变量， 我们称对每一个个体的p个变量的一次观测为一个样品（如张三同学是一个个体，也是一个样品）。 我们表示第α个样品为 什么是样品（case）? 第四十二页，共七十页。 * 样品的本质 每个样品 在理论上看作是一个P维的随机向量（在没有观测之前） 一旦经过观测之后就确定了一个常数向量。 第四十三页，共七十页。 * 什么是样本（sample）? 我们称对全部n个样品组成的局部整体，叫做一个样本。 例如，从全体工大学生这个