倒立摆与自动控制原理课程设计.docx

自动化-课程设计 Final Pr?oo ect 倒立摆与自动控制原理课程设计 III 学院：物理与光电信息科技学院 专业：电子信息工程专业 年级：2009级 姓名：王雪、陈一淳、林嘉莹 学号：106032009122 1摘要 1.1倒立摆系统稳定性研究的背景和意义 1.2倒立摆系统控制的研究历史及现状 1.3倒立摆涉及领域 2倒立摆系统 2.1倒立摆的工作原理 2.2倒立摆系统特性分析 3—级倒立摆的物理建模 3.1微分方程的推导 3.2传递函数的推导 3. 3状态空间方程的推导 3.4 一级倒立摆系统的定性分析 4倒立摆的稳定性控制及仿真 4.1频率响应分析 4.2频率响应设计及仿真 4. 3 MATLAB 仿真 摘要 对于倒立摆系统的控制研究长期以来被认为是控制领域里引起人 们极大兴趣的问题。倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不 稳定的系统。研究倒立摆系统能有效地反应控制中的许多问题。倒立摆研 究具有重要的理论价值和应用价值。倒立摆广泛应用于控制理论研究、航 空航天控制、机器人、杂技项杆表演等领域，在自动化领域中具有重要的 价值 1.1直线一级倒立摆建模 .， ■ 直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒 立摆之 图1倒立摆实物图 用牛顿力学方法建模：在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线 一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2所示： 图2直线一级倒立摆模型 我们不妨做以下假设： M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 1 摆杆转动轴心到杆质心的长度 1 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置 巾 摆杆与垂直向上方向的夹角 0 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相 互作 力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置 的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图3示，图示方向为矢量 正方向。 图3及摆杆受力分析 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程: MXF-bW-N 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： [2 n = nt— (x + /sin 0) dr (1) 即： 2 n = w cos^ -zw/Z? sin 0 (2) 把这个等式代入式(3.1)中，就得到系统的第一个运动方程： (A7 + w) 八 m/ OcosQ - nil 0 2 sin 0 = F (3) 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分 析，可以得到下面方程： p - mg = m― (/cos。) (4) p — nig = —ml Osin 0 — ml 0 - cos 0 (5) 力矩平衡方程如下： — p/sii】O — N/cos0 = /e (6) 注意：此方程中力矩的方向，由于。=rc +(|),cos巾=-cos 0,sin巾=-sin 0 ，故等式 前面有负号。 合并这两个方程，约去P和N,得到第二个运动方程： (/ + ml -)。+ nig/ sin 0 = —ml (7) 设。=7T +。(小是摆杆与垂直向上方向之间的夹角)，假设。与1 (单 位是弧 d0 2 度)相比很小，即巾?1,则可以进行近似处理: do 、 cqs8 = -1,sin 0 = w,(——)~= 0 dt (8) 用，来代表被控对象的输入力F,线性化后两个运动方程如下： ? ? (M ? ，-“ (9) (/ + niT = ml (10) 注意：推导传递函数时假设初始条件为()。 由于输出为角度巾，求解方程组的第一个方程，可以得到: 曲=［竺平丄与川) ml 广 (11) 或 0(s) _ mis2 X(S) 一 (I + ml2)s2-mgi (12) 如果令v = x,则有： 、, ?(§) ml - ? ? r(j) (/ + ml2)s2-mgl (13) 把上式代入方程组的第二个方程，得到： (M+m)[? + ，).邑渺(s)s 匚+皿+ 〉+ -^]、(s)s-ml3(s)s=U(s) ml s ml (14) 整理后得到传递函数: ml 2 —s~ O(s) q U(s) 4 b(J + m广)% (M + m)mgf 2 bmgl s + s s s q q q (15) 其中 q = [(A/ + 4- w/ - (fnty ] (16) 设系统状态空间方程为： . x = AX + Bu y = CX + Du 由(9)方程为： (I + = ml (17) 对于质量均匀分布的摆杆有： / = -ml 3 于是可以得到： 2 +〃?〃)。一 両淇放=ml (18) 化简得到： 4/ 4/ (19)