理论力学 课件 第12章 动能定理.pptx

第12章 动能定理12.1 力的功12.2 质点 质点系的动能12.3 质点与质点系的动能定理12.4 功率 功率方程12.5 势力场 势能及机械能守恒定理 12.6 动力学普遍定理及综合应用思 考 题12.1 力 的 功　工程实际中,一物体受力的作用所引起运动状态的变化,不仅取决于力的大小和方向,而且与物体在力的作用下经过的路程有关。我们把 力在一段路程上的 累 积 效 应,称 为 力的功。　　1.功的计算　1)常力的功　设一物体在常力F 的作用下做直线运动,如图12-1所示。α 表示力和运动方向间的夹角,S 表示力作用点走过的路程。则力F 在路程S 上所作的功为　或图12-1　2)变力的功　设质点 M 在变力F 作用下沿曲线运动,如图12-2所示。把位移S 分割成许多微段dS,当微段dS 足够小时,可把dS 近似地看成直线,而这一微段上的力可近似地看作常力,由式(12-1),得图12-2　3)合力的功即上式表明:在任一路程中,合力的功等于各分力的功的代数和。图12-3　2)弹性力的功图12-4由此可见:弹性力的功只与弹簧的起始、终了变形有关,而与质点运动的路径无关。　3)作用在定轴转动刚体上力的功图12-5由此可见,动摩擦力的功恒为负值,它不仅取决于质点的起止位置,且还与物体的运动路径有关。　若 N 等于常量时,则有其中s为物体运动所经路径的曲线长度。　　【例12-1】 在图12-6所示的系统中,斜面倾k角α=35°,物块 M 的质量为 10kg,弹簧刚度系数=120N/m,动摩擦系数f=0.2。试计算物块由弹簧的原长位置 M0 沿斜面运动到位置 M1(S=0.5m)时,作用于物块的各力所做的功及合力的功。　解 (1)取物块 M 为研究对象。它受的力有重力P、斜面法向反力N、摩擦力F及弹性力F。取原点为 M0 的坐标轴x。图12-6　3.质点系内力的功图12-7　　4.理想约束反力的功　约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。常见理想约束有以下四种:　(1)光滑固定面约束。图12-8所示的光滑固定面约束,因为光滑固定面的约束反力沿支承面的法线,与该力作用点的微小位移dr垂直,所以元功δWN=N·dr=0。　(2)轴承与可动铰支座。图12-9所示的轴承与可动铰支座,由于约束反力的方向始终与微小位移方向垂直,故有图12-8 　　　　　　　　　图12-9　(3)连接两个刚体的光滑铰链。两刚体在铰接处相互作用的约束反力N 和N大小相等,方向相反,即N+N=0,如图12-10所示。因此,元功:δWN=N·dr+N·dr=(N+N)·dr=0。例如常见的固定铰支座、中间铰的约束。图12-10　(4)不可伸长的柔索约束。如图12-11所示的不可伸长的绳索,两端分别作用着拉力F1 和F2(F1=F2),两端的位移dr1 和dr2 沿绳索的投影相等,则F1 和F2 的元功和为图12-1112.2 质点 质点系的动能　物体由于运动而具有的能量称为动能,动能是度量物体机械运动强弱的一个物理量。　1.质点与质点系的动能　设质量为m 的质点,任一瞬时的速度为v,则质点的动能为　动能是一个与速度方向无关的正标量,其量纲是[质量][速度]2 =[M][L2][T]-2 =[F][L]=[力][路程],即动能量纲与功的量纲相同。因而,动能和功的单位相同。　由n 个质点组成的质点系,其动能等于每个质点动能之和,即x式中,mi、vi 分别表示质点系中第i个质点的质量、速度大小。　　2.刚体的动能　刚体是工程中常见的质点系,由于运动形式的不同,其动能的表达形式各异。　(1)平动刚体的动能。刚体做平动时,刚体内各点的速度相同,其动能为式中,∑mi =M 是刚体的质量,vC 为刚体质心的速度。 即平动刚体的动能等于其质心的速度的平方与总质量乘积的一半。　(2)定轴转动刚体的动能。设刚体以角速度ω 做定轴转动,其上任意一个到转轴距离为ri、质量为mi 的质点的速度为vi=riω。于是定轴转动刚体的动能为式中,Jz =∑miri2 为刚体对转轴z 的转动惯量。 这表明,转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与角速度平方乘积的一半。　(3)平面运动刚体的动能。由于刚体的平面运动可看成是刚体随质心的平动与绕质心的转动的合成,因此平面运动刚体的动能为刚体的平动动能加上绕质心转动的动能。　设质量为 M 的刚体过质心C 的转动惯量为JC ,质心的速度为vC ,于是　若刚体瞬心C到质心C 的距离为d,如图12-12所示。由转动惯量的平行移轴公式有这样刚体的动能:即平面运动刚体的动能等于绕瞬心轴转动的动能。图12-12　【例12-2】 在图12-13所示的机构中,杆OA 绕水平轴O 转动,质量为2kg的套筒 M 按规律s=2t2(m)沿杆滑动。当转角φ=2t(rad)时,