理论力学 课件 第14章 虚位移原理.pptx

第14章 虚位移原理;14.1 约束与约束方程 虚位移与虚功;　　(1)几何约束和运动约束。只限制质点或质点系在空间的几何位置的约束称为几何约束。例如,图14-1所示的以无重刚杆为摆杆的单摆,其中质点 M 可绕固定点Ο 在平面Οxy内摆动,摆长为l。由于刚杆OM 的限制,质点 M 必须在以点Ο 为圆心、l为半径的圆周上运动。若以x、y 表示质点的坐标,则其位置坐标必须满足条件式(14-1)称为约束方程。;;　　又如,质点 M 在图14-2所示的半径为r 的球面上运动,那么球面方程就是质点 M 的约束方程,即　　;;　　除几何约束外,还有限制质点系运动情况的运动学条件,称为运动约束。对于图14-3所示的半径为r 的圆轮,它在水平面上沿直线轨道只滚不滑就是运动约束。式(14-3)建立了轮心速度与轮子角速度间的关系,称为运动约束方程。;;　　(2)定常约束和非定常约束。如果约束方程中不显含时间t,即约束不随时间而变,那么这种约束称为定常约束。如前述单摆的约束方程不显含时间t,属于定常约束。　　若约束方程中显含时间t,约束条件随时间变化,则这种约束称为非定常约束。如图14-4所示,与弹簧相连的滑块 A 可沿光滑水平面往复滑动,设其运动规律为xA =asinωt。又在滑块上连接一单摆,摆杆长为l,则质点 M 的约束方程为式(14-4)中显含时间t,所以它是非定常约束。;;　　(3)双面约束和单面约束。在两个相对方向上限制质点或质点系的运动的约束称为双面约束。如图14-5所示单摆,小球 M 用长为l的刚杆铰接于球形支座O 上,小球只能在半径为l的球面上运动,其约束方程为　　将图14-5中刚杆换成柔索,则柔索将不限制小球在圆域内部的运动,这种只在一个方向限制质点或质点系运动的约束称为单面约束。其约束方程为;;　　(4)完整约束和非完整约束。如果约束方程中不包含坐标对时间的导数,或者约束方程中的微分项可积分为有限形式,这种约束称为完整约束。例如,对于式(14-3)所示的运动约束方程,其积分式为因此,轮子受到的约束是完整约束。;　　2.虚位移　　由于约束的存在,非自由质点系中各质点的位移受到一定的限制,有些位移是约束所允许的。在某瞬时,质点系在约束所允许的条件下,可能实现的任何无限小的位移称为虚位移。虚位移可以是线位移,也可以是角位移。虚位移通常用变分符号δ表示。例如,在如图14-6所示的被约束在固定曲面上的质点 M,过 M 点的切面内任何微小位移δr 都是约束所允许的,都是质点 M 的虚位移。;　　在定常约束条件下,如图14-6中的曲面为固定曲面,由于约束不随时间而改变,质点的微小实位移只是所有虚位移中的一个,而虚位移视约束情况,可以有多个,甚至无穷多个。在非定常约束情况下,如图14-7所示的曲面是运动的,设t瞬时曲面的位置为Ⅰ,经过dt时间后的位置为Ⅱ,在dt时间内质点M 的实位移为dr。而某瞬时的虚位移是将时间固定后,约束所允许的位移。质点 M 在t瞬时的虚位移为δr,δr,…实位移不能固定时间,所以这时的实位移不一定是虚位移中的一个。;;;　　3.虚功　　设某质点受力F 作用,假想地给它一虚位移δr,则力F 在虚位移δr上所做的功称为虚功,即也可用解析式表示,即;　　由于虚功是在假想的虚位移中所做的功,因而虚功是假想的。例如,图14-8所示曲柄连杆机构,对于图示虚位移,力 F 的虚功为δW =-F·δrB ,力偶 M 的虚功为δW =M ·δφ。图示机构处于静止平衡状态,显然任何力都没做实功,但力可以做虚功。　　由虚功的概念可知,第12章中所述的理想约束的概念也可定义为:在质点系的任何虚位移中,约束反力所做的虚功之和为零。;;14.2 自由度和广义坐标;　　一般地,具有n 个质点的质点系,如果受有s个约束,则其自由度数目为　　除自由度外,也可适当选用k 个独立参变量来确定质点系的位置。用来确定质点系位置的独立参变量称为质点系的广义坐标。对于图14-8所示的曲柄连杆机构,只需选用曲柄与水平线的夹角φ 即可唯一地确定系统的位置,角φ 即为此机构的广义坐标。;　　【例14-1】 图14-9所示机构中,杆OA 和AB 铰接,B 端自由,设OA=a,AB=b,求A、B 点的虚位移。;;14.3 虚位移原理;　　下面给出虚位移原理的证明。;;;　　虚位移原理提出了求解非自由质点系平衡问题的一般方法,因此式(14-11)、式(14-12)也称为静力学普遍方程。需要指出的是,虽然虚位移原理要求质点系具有理想约束,但对于具有非理想约束的系统,只要把非理想约束反力看作主动力,虚功方程仍可应用。例如,带有摩擦的非自由质点系的平衡问题,将摩擦力看成主动力,