理论力学 课件 第8章 刚体的平面运动.pptx

第8章 刚体的平面运动;8.1 刚体平面运动的概述;;　　对图8-2所示的做平面运动的刚体,作与固定平面Ⅰ平行的平面Ⅱ,平面Ⅱ与刚体相交截得一平面图形S。刚体运动时,平面图形S 将始终在平面Ⅱ内运动。在刚体内任取一垂直于平面图形S 的线段A1A2,显然线段A1A2做平动。这样,线段A1A2 与平面图形S 的交点A 的运动就代表线段A1A2的运动。同理,图形S 内点B 的运动就代表了直线B1B2 的运动。因而图形S 内各点的运动就分别代表了刚体内各相应直线的运动,即图形S 的运动就代表了整个刚体的运动。所以刚体的平面运动可简化为平面图形S 在其自身平面内的运动。;;8.2 刚体平面运动的分解 平面运动方程;;　　为描述平面图形S 在其自身平面内的运动,可在固定平面内选取静坐标系Oxy,在S 上的A 点(基点)处取坐标系Axy,如图8-4所示。;　　由于平面图形在其自身平面内的位置完全可由图形上任意直线段 AB 的位置来确定,而此直线AB 的位置可由点A 的两个坐标xA 、yA 和线段AB 与x 轴的夹角φ 来确定。当图形S 运动时,xA 、yA 和φ 都随时间而变化,且是时间t的单值连续函数,即　　式(8-1)称为平面图形S 的运动方程,即刚体的平面运动方程。其中前两式描述的是图形的平动部分,而第三式描述的是图形的转动部分。;;;　　可得结论:平面图形的运动可分解为平面图形随基点的平动和平面图形绕基点的转动,其中平动的速度和加速度与基点的选择有关,而转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。;8.3 平面图形上各点的速度;　　设图形S 在某瞬时的位置如图8-6所示。已知此瞬时图形上点A 的速度为vA ,图形的角速度为ω,根据点的速度合成定理,图形上任一点B 的速度为　　由于图形的牵连运动是随基点 A 的平动,而相对运动是绕基点 A 的转动,因此图形上任一点B 的牵连速度ve 就等于基点A 的速度vA(见图8-7(a)示),即;;　　而点B 的相对速度vr 等于以AB 为半径、绕点A 做圆周运动时的速度vBA,即vr =vBA ,其大小vBA =AB·ω,方向垂直于转动半径 AB,指向由ω 的转向确定,如图8-7(b)所示。将ve =vA 、vr =vBA 代入上式,有式(8-2)表明:平面图形上任一???的速度等于基点的速度与该点绕基点转动的速度的矢量和。这种求图形上任一点速度的方法,称为合成法,又称基点法。;　　【例8-1】 图8-8所示的 AB 杆,A 端沿墙面下滑,B 端沿地面向右运动。在图示位置,杆与地面间的夹角为30°,这时B 点的速度vB =10cm/s,试求该瞬时端点 A 的速度vA和杆中点D 的速度vD 。;;?;;;?;　　式(8-3)表明:平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。这个规律称为速度投影定理,应用此定理分析平面图形上点的速度的方法称为速度投影法。式(8-3)为投影方程式,可求解一个未知量。如果已知图形上一点A 的速度,又知另一点B 的速度方向,则B点速度大小应用此定理求解非常方便。;　　【例8-3】 求例8-1题中AB 杆A 端的速度。　　解 速度分析如图8-8所示,将vA 、vB 投影到AB 线上,由速度投影定理,得解得此方法与基点法求得的结果相同。;　　3.速度瞬心法　　用合成法求平面图形上任一点速度时,若选取速度为零的点作为基点,则图形上任一点的速度就等于该图形绕基点转动的速度,这样可使计算简化。　　一般情况下,每一瞬时,平面图形上(或其延伸部分)都唯一地存在一个速度为零的点。设某瞬时图形上某一点A 的速度为vA ,图形的角速度为ω,如图8-10所示。;;;　　在图8-11所示的瞬时,尽管图形上各点的速度分布规律与刚体绕定轴转动时各点速度分布规律相同,但图形的瞬时转动与刚体的定轴转动并不相同,因为瞬心C 具有瞬时性,图形的运动可看成是绕一系列瞬心的瞬时转动。因此速度瞬心又称为速度瞬时转动中心。;;　　速度瞬心法是求解平面图形上任意点速度的常用方法。应用此方法应先确定瞬心的位置,下面介绍几种确定速度瞬心位置的方法。　　(1)已知某瞬时图形上A、B 两点速度方向。由于图形上各点的速度应垂直于各点至瞬心的连线,所以过A、B 两点分别作速度方向的垂线,两直线的交点C 就是图形的瞬心,如图8-12所示。;;　　(2)已知某瞬时图形上A、B 两点的速度vA 、vB ,速度方向均垂直于连线 AB,大小不等。不论vA 、vB 的指向相同(见图8-13(a))或相反(见图8-13(b)),图形的瞬心C 都在连线AB 的延长线和速度vA 、vB 两矢端连线的交点上。　　(3)已知某瞬时图形上A、B 两点的速度相同,即vA=v