理论力学 课件 第11章 动量矩定理.pptx

第11章 动量矩定理;11.1 质点和质点系的动量矩;　　质点对于点O 的动量矩是矢量,它垂直于矢径r 与动量mv 所形成的平面,其指向按照右手螺旋法则确定,如图11-1所示。动量矩的大小为式中,△OMA 为三角形OMA 的面积。在国际单位制中,动量矩的单位为kg·m2/s。;;　　质点的动量mv 在Oxy 平面上的投影 (mv )xy 对于点O 的矩定义为质点对于z 轴的动量矩Mz (mv ) 。质点对点的动量矩为矢量,质点对轴的动量矩是代数量,两者之间的关系如下:;　　2.质点系的动量矩　　设质点系由n 个质点组成,第i个质点的动量矩可由式(11-1)确定,则质点系中各质点对点O 的动量矩的矢量和为　　质点系对z 轴的动量矩等于各质点对同一z 轴的动量矩的代数和,即;　　与静力学中的力对一点的矩和对经过该点的任一轴的矩的关系相似,质点系对O 点的动量矩矢在经过O 点的任一轴上的投影等于质点系对于该轴的动量矩。若过O 点的为直角坐标系,则有;　　下面介绍运动刚体动量矩的计算。　　(1)平动刚体的动量矩。刚体做平动时,每个质点的速度vi=vC(质心的速度),即由于mrC =∑miri,所以有即平动刚体对任一固定点的动量矩等于将刚体全部质量集中于质心的质点对该固定点的动量矩。;　　(2)定轴转动刚体的动量矩。刚体绕定轴转动是工程上最常见的一种运动情况。设绕z 轴转动的刚体的角速度为ω,刚体内任一质点的质量为mi,到转轴的距离为ri,如图11-2所示。该质点对z 轴的动量矩为　　刚体对z 轴的动量矩为;　　令 ∑miri2 =Jz,称为刚体对z 轴的转动惯量。 于是得即刚体做定轴转动时,对转轴z 的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。;;　　3.平面运动　　具有质量对称平面的平面运动刚体可简化为平面图形S 在其自身平面内的运动。平面图形S 的运动可分解为随质心C 的平动与绕质心C 的转动。设图11-3所示的刚体的质量为m,转动角速度为ω,图形质心的速度为vC ,绕过质心C 且垂直于图形S 的转轴的转动惯量为JC ,则刚体对z 轴的动量矩为;;11.2 动量矩定理;;;　　在应用时常取它的投影形式,若选取对应直角坐标系Oxyz,则有　　上式也称为对轴的动量矩定理,即质点对某轴的动量矩对时间的导数等于作用于质点上的力对同一轴之矩。;　　由式(11-9)可知,如果作用于质点上的力对某点O 之矩恒等于零,则质点的动量对同一点之矩保持不变,即 MO (mv)为常矢量。　　如果作用于质点上的力对x 轴之矩恒等于零,则质点的动量对该轴的矩保持不变,即Mx(mv)=常量。　　以上两种情况均称为质点的动量矩守恒。;　　2.质点系的动量矩定理;　　将式(11-11)向通过O 点的三个直角坐标轴上投影,得到对轴的动量矩定理:　　即质点系对于某定轴的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系上的所有外力对同一轴之矩的代数和。;　　在此应指出,上述的动量矩定理是对固定点或固定轴而言的。对于一般的动点,动量矩定理有较为复杂的表达形式。　　由式(11-11)可 知,如 果 作 用 于 质 点 系 上 的 外 力 对 某 定 点 O 的 主 矩 等 于 零,即∑MO(Fi(e) ) =0,则质点系对该点的动量矩保持不变,即LO =常矢量。　　如果作用于质点系上的外力系对于某定轴力矩的代数和等于零,即∑Mz (Fi(e) ) =0,则质点系对该轴的动量矩保持不变,即Lz =常量。　　这两种情况称为质点系的动量矩守恒。;　　【例11-1】 图11-5所示为高炉运送矿石所用的卷扬机。已知鼓轮的重量为P1、半径为R,小车和矿石总重量为P,轨道的倾角为α。设作用在鼓轮上的力矩 M 为常量,不计摩擦和绳的质量,求小车的加速度a。;;　　(4)求解。列出质点系动量矩方程:　　解得　　若 M Psinα,则a0,小车的加速度沿斜坡向上。这是因为计算本题时,动量矩、力矩以逆时针转向为正,因此小车的加速度沿斜面向下为正。;　　【例11-2】 塔轮分别由半径为r1 和r2 的两个匀质圆盘固连在一起组成,它的总质量为 m,对水平轴O 的转动惯量为JO 。两轮上各缠有绳索,并挂有重物A 和B,如图11-6(a)所示。重物A 和B 的质量分别为m1 和m2。如果不计绳索质量和轴承O 处的摩擦,求塔轮的角加速度α。;;　　解 取整个系统为研究对象,受力分析和运动分析如图11-6(a)所示。根据质点系动量矩定理,有其中,LO 的大小为;　　质点系外力对O 点之矩的大小为将式(2)、(3)代入式(1),得;　　【例11-3】 在调速器