安徽—李敏—设计—5.1.2导数的概念及其几何意义（第2课时）.docx

第十一届高中青年数学教师课例展示 PAGE PAGE 9 5.1导数的概念及其意义(4课时，单元教学设计) 一、单元内容及其解析 1.内容 变化率的典型实例，导数的概念，导数的几何意义. 2.内容解析 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，也是解决增长率、膨胀率，效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具. 在大多数大学数学教科书所呈现的微积分知识体系中，都是先介绍极限概念，再介绍导数楼念，但现在的高中数学教科书在给出导数概念之前并没有介绍极限概念及其运算，因此就不能用极限理论建立导数概念，导数的本质是函数的瞬时变化率，即函数平均变化率的极限.教科书选取高台跳水运动员的速度和抛物线的切线的斜率这两个典型的变化率问题.通过这些特殊案例.使学生经历由平均速度过渡到瞬时速度、由割线斜率过渡到切线斜率的过程，以直观的方式由平均变化率的极限引出瞬时变化率，进而建立导数的概念. 极限是人们从微观层面认识世界变化规律的重要工具.由于导数是一种特殊的极限，其中自然蕴含着极限思想，所以导数的学习对于发展学生的数学抽象素养和正确的世界观有着重要的作用.从瞬时速度、切线的斜率这些特殊的瞬时变化率出发，再抽象出导数概念，蕴含了数形结合、从特殊到一般的数学思想方法，导数的几何意义表明，函数在某点处的导数是函数的图象在相应点处切线的斜率，这对于帮助学生理解导数的意义，提升学生的 数形结合能力，发展直观想象素养，有着重要的作用. 基于以上分析，确定本单元的教学重点:导数的概念及其几何意义、极限思想 本单元数学需4课时，具体分配如下:第1课时，高台跳水运动员的速度;第2课时，抛物线的切线的斜率;第3课时，导数的概念;第4课时，导数的几何意义、导数的概念及其几何意义的综合应用. 二、单元目标及其解析 1.目标 (1)通例，经历均变化率过渡到瞬时变化率的过程，理解导数的概念. (2)通过数图象直观理解导数的几何意义. (3)通过经历导数概念的抽象概括过程，体会极限思想. 2.目标解析 达成上述目标的标志是: (1)结合“高台跳水运动员的速度”问题，学生能借助计算工具计算运动员的平均速度，并通过观察平均速度在自变量问隔不断变小的过程中的变化趋势，得出瞬时速度;结合“抛物线的切线的斜率”问题，观察从割线过渡到切线的过程中，割线斜率在两交点的横坐标间隔不断变小的过程中的变化趋势，得出切线的斜半，从而了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想. (2)通过研究从曲线的割线过渡到切线、从割线斜率过渡到切线斜率的过程，得到导数的儿何意义，能通过求函数在某点处的导数得出函数的图象在对应点处的切线斜率，进而求出切线的方程. (3)结合“高台跳水运动员的速度”和“抛物线的切线的斜率”问题，能从平均速度的数值变化和图象过某点处的割线斜率的变化趋势直观感知瞬时速度是平均速度的极限，切线斜率是割线斜率的极限，能结合导数的概念和几何意义知道函数在某指定点处的导数是一个确定的数，是一个特殊的极限，对于简单的函数，能通过计算平均变化率的极限得出导数. 三、单元教学问题诊断分析 由于学生在学习导数之前没有学习极限，所以学习导数的过程实际上是学生体会极限思想的过程，因此，如何用平均速度的极限理解瞬时速度，用割线斜率的极限理解切线的斜率，并由此体会极限思想，这是第一个教学难点，要突破这个难点，需要在“高台跳水运动员的速度”和“抛物线的切线的斜率”这两个案例中，让学生充分经历由“平均变化率”过渡到“瞬时变化率”的过程，通过观察平均速度的数值变化和图象过某点处的割线的变化趋势，正确理解平均速度的极限就是瞬时速度，以及割线的极限位置就是切线，割线斜率的极限就是切线斜率，在此过程中，帮助学生正确理解“极限”的含义是建立导数概念的关键. 学生到高中阶段已经有了一定的归纳能力，但在归纳的基础上抽象出数学概念的能力仍有所欠缺，因此，如何从瞬时速度、切线的斜率这些具体案例中抽象出导数概念，是第二个教学难点，要解决这个问题，需要先从学习过的具体案例中提炼出平均变化率的概念，并用符号形式化地表示出来，在此基础上，观察随着自变量的改变量趋于 0，平均变化率的数值变化和形式化后的变化趋势，建立导数的概念. 导数概念的建立过程涉及大量的概念与符号，如何正确理解这些概念与符号的意义，是第三个教学难点，教学中要通过具体案例进行剖析，不仅要使学生能正确理解这些概念与符号，还要能准确运用相关概念与符号. 四、单元教学支持条件分析 学生之前没有学过极限的概念，而导数的本质便是极限，同时导数的表示要借助极限符号，这些都增加了学生抽象概括出导数概念的难度，因此，教