概率论与数理统计(第三章第4节).pptxVIP

第四节 随机变量的函数的分布 很多实际问题常常要用以随机变量为自变量的函数来描述, 当这个函数满足一定的条件时, 它也是随机变量。 一般, 假定 X 或 ( X, Y ) 是已知分布的随机变量, g(x) 或 G(x, y) 是实值的一元或二元函数, 当 g(X) 或 G( X, Y ) 是随机变量时, 希望通过已知的 X 或 ( X, Y ) 的分布去确定 g(X) 或 G( X, Y ) 的分布。第一页，共五十页。1. 离散型随机变量的函数的分布律 当X 或 ( X, Y ) 是离散型随机变量时,它们的函数仍然是离散型的随机变量。例1. 设随机变量 X 具有分布律求: Y = 2X 以及 Z = sin X 的分布律。第二页，共五十页。 解. 首先由 X 的可能取值确定 Y 及 Z 的取值:XY = 2XZ = sin X－1 0 1 0得到随机变量函数 Y 及 Z的分布律为:第三页，共五十页。Y P{Y = yj }Z －1 0 1P{Z = zk }第四页，共五十页。Y0 1 2X－11 例2. 设随机变量 ( X, Y ) 具有联合分布律:求: Z = X+Y 的分布律。第五页，共五十页。YZ0 1 2X－11 解. 对应于 X, Y 取值的 Z = X+Y 的值是－101123得到 Z 的分布律为第六页，共五十页。 记 Z = g(X) 或 Z = G( X, Y ), 求 Z 的分布律的一般步骤是：(1) 确定 Z 的所有可能取值 zk, k = 1, 2, ··· ;zk = g(xi) 或 G(xi, yj) (2) 计算概率值 P{ Z = zk }, 有如下公式第七页，共五十页。P{ Z = zk } = P{ g(X) = zk } = P{ X = xi } 对满足 g( xi ) = zk 的 xi 求和◆当Z = G( X, Y ) 时, P{ Z = zk } = P{ X = xi , Y = yj } 对满足 G( xi , yj) = zk 的 xi 与 yj 求和◆ 当Z = g(X) 时, 第八页，共五十页。 当随机变量取整数值时, 可以得到如下更具体的公式: ◆设离散型随机变量 X、Y 的可能取值是 0, 1, 2, ··· 则 X+Y 的分布律是如果 X,Y相互独立还有k = 0, 1, 2, ···第九页，共五十页。 例3. 设随机变量 X、Y 相互独立, 均服从泊松分布, X ~ P(?1) , Y ~ P(?2) , 证明:X+Y ~ P(?1+?2) 证: X、Y 的可能取值都是0, 1, 2, ···于是 X+Y 的可能取值也是0, 1, 2, ··· 并且第十页，共五十页。C ik所以,X+Y ~ P(?1+?2) 。第十一页，共五十页。 ◆例3 的结论称为泊松分布具有 “再生性”。还可以证明◆二项分布也具有再生性 设 X、Y 相互独立, X ~ B ( n1, p ),Y ~ B ( n2, p ), 则有 X +Y ~ B ( n1+n2, p )。 从二项分布的直观背景也可解释其再生性。而且, 利用数学归纳法, 还可以得到如下的重要结论。第十二页，共五十页。◆ 设随机变量 X1, X2, ··· , Xn 相互独立, 均 服从同样的 (0-1) 分布, 即 B( 1, p), 则X1+X2+ ··· +Xn ~ B( n, p) 直观上, 考虑 n 重贝努里试验, 以 Xi 表示第 i 次试验时事件 A 的发生次数, 则X1+X2+ ··· +Xn 就是n 重贝努里试验中事件A 发生的次数, 服从 B( n, p)。第十三页，共五十页。 例4. 设随机变量Y 服从参数为? = 1的指数分布, 定义随机变量{0, 若Y≤k;1, 若Y k。k =1, 2Xk= 求: X1, X2的分布律及(X1, X2)的联合分布律。2. 连续型随机变量的函数的分布 当X 或 ( X, Y ) 是连续型随机变量, 它们的函数 g(X) 或 G( X, Y ) 可以是连续型随机变量, 也可以是离散型随机变量。第十四页，共五十页。{e?x 当 x 0; 0 当 x≤0。fY(y) = e?xdx = 1? e?ke?xdx = e?kXk 0 1得到k =1, 2P{Xk = i }1? e?k e?k 解. X1, X2 的可能取值都是 0, 1; Y 的概率密度是于是 P{Xk= 0}= P{Y≤k} = P{Xk= 1}= P{Y k} =第十五页，共五十页。Y0