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（优选）截面的(De)几何性质ppt讲解 第一页，共三十页。 附(Fu)录? 截面的几何性质 § ?-1 截面的静矩和形心位置 设任意形状截面如图所示。 1. 静矩（或面积的一次矩） (常用单位： m3 或mm3 。值：可为正、负或 0 。） 2.形心坐标公式（可由均质等厚薄板的重心坐标而得） O x d A y y x C 第二页，共三十页。 3. 静矩与形心坐标的关(Guan)系 结论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。 4. 组合截面的静矩 整个截面对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和: 第三页，共三十页。 5. 组合截面的形(Xing)心坐标公式 将 代入 解得组合截面的形心坐标公式为： （注：被“减去”部分图形的面积应代入负值） 第四页，共三十页。 例1 试计算图示三角形截面对于与其底边重合(He)的x轴的静矩。 解： 取平行于x轴的狭长条， 所以对x轴的静矩为 O x y b ( y ) y d y h b 第五页，共三十页。 例2求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐(Zuo)标yC。 O C r x y dA yC y dy 解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x轴平行的窄条， 方法1：直接积分法 简单图形 第六页，共三十页。 解：将此图形分成I、II、III三部分，以图形的铅垂对称轴为(Wei)y轴，过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴，则 例3 求图示图形的形心。 150 y C x O x1 y1 200 10 yC 300 I II III 10 由于对称知： xC=0 矩形I 矩形II、III 第七页，共三十页。 例4 试计算图示截面形心C的(De)位置。 解：将截面分为I、II两个矩形。 建立坐标系如图示。 各矩形的面积和形心坐标如下： O x y y1 120 10 x x 80 10 y C ( y , x ) Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅰ Ⅱ 矩形I 矩形II 第八页，共三十页。 代入组合截面的形心坐标公(Gong)式 解得： 方法2：分组叠加法 Ⅰ Ⅱ O x y y1 120 10 x x 80 10 y C ( y , x ) Ⅱ Ⅰ Ⅱ 矩形I A1=70?110=7700mm2 x1=45mm, y1=65mm 矩形II A2=80?120=9600mm2 x1=40mm, y1=60mm 方法3：负面积法 组合图形 第九页，共三十页。 § I－2 极惯性(Xing)矩 · 惯性矩 · 惯性积 设任意形状截面如图所示。 1.极惯性矩（或截面二次极矩） 2.惯性矩（或截面二次轴矩） （为正值，单位m4 或 mm4) 所以 （即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。） O x y y x r d A 第十页，共三十页。 3. 惯(Guan)性积 （其值可为正、负或0，单位:m4 或 mm4) （3）惯性半径 （单位m 或 mm） O x y y x r d A （1）若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正交轴的惯性积为零； （2）惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩 特点 第十一页，共三十页。 例5 试计算图a所示矩形截(Jie)面对于其对称轴（即形心轴）x和y的惯性矩和惯性积。 解： 取平行于x轴的狭长条， 则 dA=b dy 同理 y h C x d y y b (a) 因为x、y轴皆为对称轴，故Ixy=0 第十二页，共三十页。 例6 试计算图示(Shi)圆截面对于其形心轴（即直径轴）的惯性矩。 x d y ? y x 解： 由于圆截面有极对称性， 所以 所以 dy ? y 第十三页，共三十页。 §?-3 惯(Guan)性矩和惯(Guan)性积的平行移轴公式 ?组合截面的惯性矩和惯性积 1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式 1.公式推导 O x y C dA xC yC a b y x xC yC y=yc+a x=xc+b 第十四页，共三十页。 ②b和a是图形的形心C在Oxy坐标系中的坐标，所以它(Ta)们是有正负的。 3.注意： ①xC、yC轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴的惯性矩最小； 2.平行移轴公式 二、组合图形的惯性矩： 组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）等于其 各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积）之和 第十五页，共三十页。 例7 求图示直径为