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数值分析期末试题
填空题(分)
(1)设 ,则______13_______。
(2)对于方程组 ,Jacobi迭代法的迭代矩阵是。
(3)的相对误差约是的相对误差的倍。
(4)求方程根的牛顿迭代公式是。
(5)设,则差商 1 。
(6)设矩阵G的特征值是,则矩阵G的谱半径。
(7)已知,则条件数 9
(8)为了提高数值计算精度,当正数充分大时,应将改写为。
(9)个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为次。
(10)拟合三点,,的水平直线是。
(10分)证明:方程组使用Jacobi迭代法求解不收敛性。
证明:Jacobi迭代法的迭代矩阵为
的特征多项式为
的特征值为,,,故>1,因而迭代法不收敛性。
(10分)定义内积
试在中寻求对于的最佳平方逼近元素。
解:,,
,,,,。
法方程
解得,。所求的最佳平方逼近元素为
,
(10分)给定数据表
x
-2
-1
0
1
2
y
-0.1
0.1
0.4
0.9
1.6
试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。
解:
,
法方程
的解为,,,
得到三次多项式
误差平方和为
五. (10分) 依据如下函数值表
0
1
2
4
1
9
23
3
建立不超过三次的Lagrange插值多项式,用它计算,并在假设下,估计计算误差。
解:先计算插值基函数
所求Lagrange插值多项式为
从而。
据误差公式及假设得误差估计:
六. (10分) 用矩阵的直接三角分解法解方程组
解 设
由矩阵乘法可求出和
解下三角方程组
有,,,。再解上三角方程组
得原方程组的解为,,,。
七. (10分) 试用Simpson公式计算积分
的近似值, 并估计截断误差。
解:
截断误差为
八. (10分) 用Newton法求方程在区间内的根, 要求。
解:此方程在区间内只有一个根,而且在区间(2,4)内。设
则 ,
Newton法迭代公式为
,
取,得。
九. (10分) 给定数表
-1
0
1
2
10
14
16
15
1
0.1
求次数不高于5的多项式,使其满足条件
其中 。
解:先建立满足条件
,
的三次插值多项式。采用Newton插值多项式
+
再设 ,由
得
解得,。
故所求的插值多项式
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