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高等代数课程教学大纲 高等代数 课程名称 课程代码 Advanced Algebra 课程属性 学科基 课时/学分 64+64/4+4 课程性质 必修 实践学时 责任教师 课外学时 128+128 课程属性：学科基 课程性质：必修 一、 课程介绍 1.课程描述： 高等代数是数学科学学院各专业的重要专业必修基础课，是学习其它数学课程的 主要先修课之一。高等代数的内容主要包含两个模块：第一模块，方程和方程组的求解 问题，主要内容有：多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型；第二模块，线性空 间相关理论，主要内容有：线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间。高等代数 内容包含理工科所开设的线性代数的主要内容。 2.设计思路： 开设高等代数课程的目的是：一方面，使数学院本科生在中学所学初等代数的基 础上继续学习更加高深的代数学知识，使其掌握系统的经典代数内容，为学习其它数学 课程 （如数值代数、近世代数、计算方法等等）提供坚实的代数基础知识；另一方面， 通过本课程的学习，逐步培养学生的数值计算能力、逻辑分析能力和抽象思维能力，提 高学生在数学思想、数学方法方面的修养。 19 世纪以前的代数研究内容主要是解方程和方程组以及由此产生的相关理论，称 为经典代数；19 世纪以后的代数主要研究一些抽象代数结构，如群、环、域、模等， 称为抽象代数或近世代数。高等代数课程的内容主要是经典代数内容，涵盖学习其它数 学课程所要求的基本的代数基础知识。 - 1 - 高等代数的内容基本按照经典代数的发展编排的，主要有两条主线：第一，方程 和方程组求解问题，第二，线性空间相关理论。第一条主线的主要内容有：多项式理论 ——对应高次方程，其求解需要降次，需研究多项式的因式分解；行列式理论——求 解线性方程组的主要工具之一；线性方程组理论——解的判定与求法；矩阵理论—— 解线性方程组时用到的矩阵运算与性质；二次型理论——二次齐次方程的化简与对称 矩阵。第二条主线的主要内容多是解析几何中内容的推广，主要有：线性空间——几 何空间的推广与抽象；线性变换——线性空间中点的运动的描述；λ-矩阵——证明线 性变换的矩阵与其标准形相似；欧几里得空间——带有长度、夹角与距离等度量性质 的线性空间，是几何空间的推广。 3.课程与其他课程的关系： 先修课程：无； 并行课程：数学分析、空间解析几何； 后置课程：近世代数。高等代数与近世代数内容恰好实现对接，完整体现了代数 学的基本内容，联系密切。 二、课程目标 本课程目标是：一方面使学生系统地掌握经典代数的内容，包括多项式、线性方 程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、欧几里得空间等，为学习其它数学课程打 下坚实的代数知识基 ；另一方面，通过本课程的学习，培养学生的数值计算能力、逻 辑分析能力和抽象思维能力，提高学生运用数学思想、数学方法分析问题、解决问题的 能力。 到课程结束时，学生应达到以下几方面要求： （1）知识掌握良好。会判断多项式的可约性，能计算两多项式的最大公因式；会 计算行列式；会判定线性方程组是否可解，掌握线性方程组解的结构；熟练掌握矩阵的 各种运算；可将二次型化为标准形；掌握线性空间基底理论以及子空间的运算；会写线 性变换的矩阵，会判定矩阵是否对角化、准对角化，并能求出其相应对角形与准对角形 - 2 - （若当标准形与有理标准形）；掌握欧式空间上的正交变换与对称变换。 （2 ）能力得到提高。通过课程中大量计算题目的练习使得数值计算能力得到提高； 通过课程中大量证明题目的练习，使得问题分析能力和逻