高等数学二全部笔记.doc

创作时间：二零二一年六月三十天 第一章函数、极限和连续之答禄夫天创作 创作时间：二零二一年六月三十天 §1.1函数 一、主要内容 ㈠函数的观点 1.函数的界说:y=f(x),x∈D 界说域:D(f),值域:Z(f). f(x) x D1 2.分段函数: y g(x) x D2 3.隐函数:F(x,y)=0 4.反函数: y=f(x) →x=φ(y)=f-1(y) y=f -1(x) 定理:假如函数:y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y 是严格单一增添(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X 且也是严格单一增添(或减少)的. ㈡函数的几何特征 1.函数的单一性:y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2), 则称f(x)在D内单一增添()； 创作时间：二零二一年六月三十天 创作时间：二零二一年六月三十天 若f(x1)≥f(x2), 则称f(x)在D内单一减少()； 若f(x1)＜f(x2), 则称f(x)在D内严格单一增添()； 若f(x1)＞f(x2), 则称f(x)在D内严格单一减少(). 函数的奇偶性：D(f)对于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x),x∈(-∞,+∞) 周期：T——最小的正数 函数的有界性：|f(x)|≤M,x∈(a,b) 基本初等函数 1. 常数函数：y=c, (c 为常数) 2. 幂函数：y=xn, (n 为实数) 指数函数：y=ax,(a＞0、a≠1) 对数函数：y=logax,(a＞0、a≠1) 三角函数：y=sinx,y=conx y=tanx,y=cotx y=secx,y=cscx 6.反三角函数：y=arcsinx,y=arcconx 创作时间：二零二一年六月三十天 创作时间：二零二一年六月三十天 y=arctanx,y=arccotx ㈣复合函数和初等函数 1.复合函数：y=f(u),u=φ(x) y=f[φ(x)],x∈X 初等函数: 由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所组成的,并且能用一个数学式子示意的函数 1.2极限 一、主要内容 ㈠极限的观点 1.数列的极限: limynA n 称数列yn以常数A为极限; 或称数列yn收敛于A. 定理:若yn的极限存在yn必定有界. 函数的极限： ⑴那时x,f(x)的极限： ⑵那时xx0,f(x)的极限： limf(x)A 左极限：xx0 创作时间：二零二一年六月三十天 创作时间：二零二一年六月三十天 limf(x)A 右极限：xx0 ⑶函数极限存的充要条件： 定理： limf(x)A limf(x) limf(x)A xx0 xx xx 0 0 ㈡无量大年夜量和无量小量 1．无量大年夜量：limf(x) 称在该改动过程中f(x)为无量大年夜量. 再某个改动过程是指： 2．无量小量：limf(x)0 称在该改动过程中 f(x)为无量小量. 3． 无量大年夜量与无量小量的关系： 定 理 ： lim f(x)0 1 ,(f(x)0) lim f(x) 4．无量小量的比力：lim0,lim0 ⑴若lim0,则称β是比α较高阶的无量小量； 创作时间：二零二一年六月三十天 创作时间：二零二一年六月三十天 ⑵若limc（c为常数）,则称β与α同阶的无量小 量； lim1 ⑶若,则称β与α是等价的无量小量,记作： β～α； lim ⑷若,则称β是比α较低阶的无量小量. 定理：若： 1~ 1， 2~2； 则：lim 1 lim 1 2 2 ㈢两面夹定理 1．数列极限存在的判断准则： 设：yn xn zn （n=1、2、3） 且： limy n limz a n n n 则： limxn a n 2．函数极限存在的判断准则： 设：对点x0的某个邻域内的全部点 （点x0除外）有： 创作时间：二零二一年六月三十天 创作时间：二零二一年六月三十天 limg(x)limh(x)A 且：xx0xx0 limf(x)A 则：xx0 ㈣极限的运算规则 若：limu(x)A,limv(x)B 则：① lim[u(x) v(x)] limu(x) limv(x) A B ② lim[u(x) v(x)] limu(x) limv(x) AB ③ limu(x) limu(x) A 0) v(x) limv(x) B(limv(x) 推论：①lim[u1(x) u2(x) un(x)] ②lim[cu(x)] c limu(x) ③lim[u(x)]n [limu(x)]n ㈤两个重要极限 lim sinx 1 或 lim sin (x) 1 1．x 0 x (x) 0 (x) 创作时间：