高考数学第九章平面解析几何第9讲圆锥曲线的综合问题第1课时圆锥曲线中的范围最值问题教学案理.doc

第9讲圆锥曲线的综合问题 一、知识梳理 1．直线与圆锥曲线的地点关系 从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点． 从代数角度看，可经过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得方程解的状况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0. 由Ax＋By＋C＝0，消元(如消去y)，得ax2＋bx＋c＝0. （x，y）＝0 ①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线 l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛 物线时，直线 l与抛物线的对称轴平行(或重合)； ②若a≠0，＝b2－4ac. a．当 ＞0 时，直线和圆锥曲线订交于不一样两点； b．当 ＝0 时，直线和圆锥曲线相切于一点； c．当 ＜0 时，直线和圆锥曲线没有公共点． 2．直线与圆锥曲线订交时的弦长问题 (1) 斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长： |P1P2|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2] ＝ 2 1 2 1＋k·|x －x| 1 2 ＝ 1＋k2 [（y1＋y2）－4y1y2 ] 1 1＋k2|y1－y2|． 斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． (3)直线l与曲线C订交于 P，Q两点，联立直线方程与曲线方程， 消去y得Ax2＋Bx＋C ＝0，＝ 2 0，则| |＝ （1＋k2） B －4 . AC PQ |A| 3．圆锥曲线的中点弦问题 碰到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解． 在椭圆x 2 y 2 ＝－b 2 x 0 x 2 2＋ 2＝1中，以( 0， 0)为中点的弦所在直线的斜率 k － 2 ；在双曲线 2 a b Px y ay0 a y2 b2x0 2 中，以 b 2＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率 k＝2；在抛物线y＝2px(p＞0) ay0 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝p．在使用根与系数关系时，要注意前提条件是 y0 0. 常用结论 过一点的直线与圆锥曲线的地点关系的特色 过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆订交． 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对 称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条 切线和一条与对称轴平行或重合的直线； 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合 的直线． 过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．二、教材衍化 1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线 y 2＝4 仅有一个公共点，这样的直线有( ) x A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 分析：选C.过(0，1)与抛物线y2＝4x相切的直线有 2条，过(0，1)与对称轴平行的直 线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点． 2．已知与向量 v＝(1，0)平行的直线l 与双曲线 x2 2 －y＝1订交于A，B两点，则|AB| 4 的最小值为________． 分析：由题意可设直线l 的方程为y＝m， x2 2 ＝1 2 ＝4(1 2 代入 －y 得x ＋m)， 4 2 2 2 1 2 2 所以|AB|＝|x1－x2|＝41＋m≥4， 即当m＝0时，|AB|有最小值4. 答案：4 一、思虑辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( ) (2) 直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1必定订交．( ) (3) 与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点． ( ) (4) 直线与椭圆只有一个交点 ? 直线与椭圆相切．( ) (5) 过点(2，4)的直线与椭圆 x2 2 只有一条切线．( ) ＋y＝1 4 答案：(1)×(2)×(3)√ (4)√ (5)× 二、易错纠偏 常有误区|Ｋ(1)没有发现直线过定点，致使运算量偏大； 不会用函数法解最值问题； 错用双曲线的几何性质． x2y2 1．直线  y＝kx－k＋1与椭圆  ＋＝1的地点关系为94 ( ) A．订交B．相切 C．相离D．不确立 分析：选A.直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部， 故直线与椭圆订交．应选A. 2．如图，两条距离为4的直线都与y轴平行，它们与抛物线y2＝－2px(0＜p＜14)和圆