8 分式中的规律探究（含答案析）-八年级数学上册期末综合复习提优训练（人教版）.docx

2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版） 专题08 分式中的规律探究 【典型例题】 1．（2021·安徽长丰·一模）观察下列等式： ①；②；③；…… （1）请按以上规律写出第④个等式：_____________________； （2）猜想并写出第个等式：_____________________； （3）请证明猜想的正确性． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】 （1）根据题目中式子的特点，可以写出第④个等式； （2）根据题目中式子的特点，可以写出相应的猜想； （3）根据分式的加减法可以证明猜想成立． 【详解】 解：（1）∵①；②；③；… ∴第④个等式：， 故答案为：； （2）第n个等式为：， 故答案为：； （3）证明：∵ ， ∴成立． 【点睛】 本题考查数字的变化类、有理数的加减混合运算，分式的加减混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的特点，写出相应的猜想并证明． 【专题训练】 解答题 1．（2021·河北玉田·八年级期中）观察以下等式： ，，，，…… （1）依此规律进行下去，第5个等式为______； （2）猜想第n个等式为______（n为正整数）； （3）请利用分式的运算证明你的猜想． 【答案】（1）5×＝5－；（2）n·＝n－；（3）见解析 【分析】 （1）仿照阅读材料中的等式得到第5个等式； （2）仿照阅读材料中的等式进而确定出第n个等式； （3）验证所得等式即可． 【详解】 解：（1）根据题意得：第5个等式为：5×＝5－， 故答案为：5×＝5－； （2）根据题意得：第n个等式为：n·＝n－ ， 故答案为：n·＝n－ ； （3）左边＝， 右边＝＝＝ 则左边＝右边，即 n ·＝n－． 【点睛】 本题考查了分式的混合运算、有理数的混合运算以及找规律题型，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 2．（2021·湖南·汨罗市弼时镇弼时初级中学八年级期中）观察下面的变形规律： ＝1－； ＝－；＝－；……解答下面的问题： （1）若n为正整数，请你猜想＝ ． （2）若n为正整数，请你用所学的知识证明 ； （3）求和：＋＋＋…＋． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）． 【分析】 （1）根据前面的规律，猜想计算即可； （2）利用通分，比较等号的两边即可 ； （3）运用规律计算． 【详解】 （1）∵ ＝1－； ＝－；＝－, ∴＝． （2）∵ =， ∴； （3）∵， ∴＋＋＋…＋ =1－+－+－+…＋ =1－ =． 【点睛】 本题考查了分式中运算规律，通分，熟练掌握发现规律的基本思路是解题的关键． 3．（2021·北京·和平街第一中学八年级阶段练习）观察下列各式： 42， 93， 255， 497， 648， …… （1）依据上述规律，再写出两个具有上述规律的等式 　 　； （2）用字母表示上述规律，并证明你的结论． 【答案】（1）16×；36×；（2）用字母表示上述规律，证明见详解． 【分析】 （1）由前几项的算式，得到规律，根据规律即可写出结论； （2）由（1）的结论写出规律，再通分，合并化简即可． 【详解】 解：（1）16×；36×； （2）用字母表示上述规律, 原式左边=， 右边， 故成立． 【点睛】 本题考查了数式规律探究问题，掌握数式规律探究中的通项，及其特征是解题关键． 4．（2021·福建南靖·八年级期中）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第7个等式：_____________； （2）写出你猜想的第n个等式（n为正整数），并证明． 【答案】（1）；（2），证明见解析； 【分析】 （1）根据题目中的等式的规律，可以写出第7个等式； （2）根据题目中的等式的规律，猜想出第n个等式，然后将等号左边的式子化简，即可证明猜想成立； 【详解】 解：（1）由第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 依次可得：第6个式子为：； 第7个式子为：； 故答案为：； （2）根据每个式子结构相同，每一项的分子分母随项数的变化规律可猜想：第n个等式为：； 证明如下：∵左边=， =， =， =右边， ∴成立， 【点睛】 本题主要考查规律型：数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的式子． 5．（2021·河北海港·八年级期中）观察下列各式： 第式：；第式：；第式：；… （1）请你根据观察得到的规律写出这列式子的第式：__________； （2）求和：； （3）已知与互为相反数，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）直接根据给出的例子找出规律即可； （2）根据