原子物理学量子力学导论.ppt

5.波函数服从的几个规则 规则1 （几率幅叠加规则）： 　假如在i→f 间有n种可能的跃迁方式,则跃迁几率幅是各种可能发生的跃迁几率幅之和.即 此规则为态的叠加的一条基本原理.费曼称其为“量子力学第一原理”.至今无法从更基本的观念将其导出） 规则2（独立事件的几率相加律）： 　假如在i→f 间有n个独立的末态,则跃迁几率等于到达各末态的跃迁几率之和.即 * 第六十二页，共一百零七页，2022年，8月28日 规则3： 　假如在i→f间有某一中间态,则跃迁几率幅等于分段几率幅之积.即 规则4： 　假如一独立体系中的两个粒子同时跃迁,则体系的跃迁几率等于两粒子几率幅之积. （规则3、4均系独立事件的几率相乘律） * 第六十三页，共一百零七页，2022年，8月28日 1.薛定谔方程的建立(1926) §3-5 薛定谔方程 “我的朋友德拜要求有个波动方程,诺,我找了一个.” 　设一个非相对论自由粒子(m、p)在势场V(x)中作一维运动,则粒子的能量为： 考虑到 则有 粒子的波函数[平面波形式; (1) 的解]： * 第六十四页，共一百零七页，2022年，8月28日 任务：找到与(1)一致的方程,且在V(x)=0时得到其解(2) 当V(x)=0时, 或： * 第六十五页，共一百零七页，2022年，8月28日 当V(x)=V0(常数) (即不存在作用力)时,式(2)是方程 的解且与式(1)一致. 推广到一般的势场V(x),即得一维薛定谔方程： 将其与经典关系式（0）比较,知作了如下的变换： 将其作用到波函数ψ上即得式（3） * 第六十六页，共一百零七页，2022年，8月28日 薛定谔方程的一般表达式 当势场V(x)=0时自由粒子的解为： 将其与经典关系 　 比较,知作了如下的变换： 　薛定谔方程不能从更基本的假设中推导出来,是量子力学的基本方程,其正确性只能靠实验检验. 事实上,可把式(4)、(5)、(6)视为量子力学的基本假设. * 第六十七页，共一百零七页，2022年，8月28日 　当V(r)不显含时间t时,用分离变数法对薛定谔方程(4)求特解即得定态薛定谔方程. 将波函数写成： 2.定态薛定谔方程 代入式(4)后两边除以ψT得： 于是有： 式中E是与r、t无关的分离常数,具有能量的量纲 * 第六十八页，共一百零七页，2022年，8月28日 式（8）的解为： 把常数T0归到ψ的常数中,则得到定态波函数： 解定态薛定谔方程的一般步骤： 1）首先分区,找出问题中势能函数的具体形式； 2）建立薛定谔方程并求出通解； 3）根据波函数的标准化条件和归一化条件确定常数. * 第六十九页，共一百零七页，2022年，8月28日 3.应用举例 例1.一维无限深势阱(or:无限高势垒) 0 d x V ( x ) ? ? 　在一维无限深势阱中运动的粒子势能函数为： 势阱内体系满足的薛定谔方程为： 令: 则方程为： 其解为： * 第七十页，共一百零七页，2022年，8月28日 显然 由归一化条件： 注意有效区域！ 归一化波函数： 分析方程的解：　　　　　　　 * 第七十一页，共一百零七页，2022年，8月28日 一维无限深方势阱中粒子的波函数 　粒子在势阱中的Ψ很象两端固定弦的驻波波形,其波长随能级的增高而缩短. 粒子出现的几率： n=1时,极大值出现在中间； n=2时,中间为0,两旁各有一个　 　　　极值； …… 　n 很大时,相邻波腹靠得很近,接近经典力学各处概率相同. n+1个节点 * 第七十二页，共一百零七页，2022年，8月28日 一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度 0 d/2 　 d 0 　 d/2 　 d * 第七十三页，共一百零七页，2022年，8月28日 例2:一维有限深势阱 在一维有限深势阱中运动的粒子势能： V ( x ) -d/2 0 d/2 x 在阱内的解已由例1给出,此处不予考虑 其中 在阱外,体系满足的薛定谔方程为： * 第七十四页，共一百零七页，2022年，8月28日 V ( x ) -d/2 0 d/2 x 由波函数的有限条件可得两个解： 　可见,在E＜Vd时,粒子有一定几率出现在阱外,粒子的动能在势阱边界发生变化,而动能的变化相当于波长的变化,说明粒子在阱的边界既有反射又有透射,这与经典物理观点有根本差异. * 第七十五页，共一百零七页，2022年，8月28日 例3.隧道效应(方势垒的贯穿) 在方势垒中运