线性代数课件第五章相似矩阵及二次型-第7节.pptxVIP

线　性　代　数第一页，共十六页。第五章　相似矩阵及二次型第二页，共十六页。第三页，共十六页。一、惯性定理　一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．　下面我们限定所用的变换为实变换，来研究二次型的标准形所具有的性质．第四页，共十六页。第五页，共十六页。二、正(负)定二次型的概念例如为正定二次型为负定二次型第六页，共十六页。三、正(负)定二次型的判别证明充分性故第七页，共十六页。推论　对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正．必要性故第八页，共十六页。定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即这个定理称为霍尔维茨定理．第九页，共十六页。正定矩阵具有以下一些简单性质第十页，共十六页。例1 判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.第十一页，共十六页。例2 判别二次型是否正定.即知 是正定矩阵，解用特征值判别法.二次型的矩阵为故此二次型为正定二次型.第十二页，共十六页。例3 判别二次型的正定性.解第十三页，共十六页。四、小结　1.　正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系．2.　正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子式判别法；(3)特征值判别法.　3.　根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导．第十四页，共十六页。思考题第十五页，共十六页。思考题解答第十六页，共十六页。